Пусть О1, О2 и О3 - центры заданных окружностей с радиусами 12, 12 и 1 см.
Стороны треугольника с вершинами в этих точках равны 24 и 2 по 13 см.
Косинус угла α при вершинах О1 иО2 равен:
cos α = (24² + 13² - 13²)/(2*24*13) = 12/13.
Находим стороны АВ и АС треугольника АВС.
АВ = АС = √(12² + 12² -2*12*12*(12/13)) = 12√(2/13) см.
Сторона ВС из подобия равна: 24*(1/13) = 24/13 см.
Высота h треугольника АВС к стороне ВС равна:
h = √(АВ² - (ВС/2)²) = √((144*2/13) - (144/169)) = (12/13)√(26 - 1) = 60/13.
Площадь треугольника АВС равна:
S(АВС) = (1/2)*(24/13)*(60/13) = 720/169.
Радиус R окружности, описанной около треугольника ABC, равен:
R = (abc)/(4S) = ((12√(2/13))-(12√(2/13))*(24/13))/(4*(720/169)) = 1728/720 = 2,4 см.
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Данный треугольник Пифагоров и гипотенуза равна 5см.
Точка М - центр описанной окружности.
Точка О - центр вписанной окружности.
Тогда R=2,5см, то есть ВМ=2,5см.
Радиус вписанной окружности равен по формуле:
r=(AC+BC-АВ)/2 = 2/2=1см.
Итак, СН=r=1см => HB=3-1=2см.
PB=HB=2см (касательные из одной точки).
Тогда МР=2,5-2=0,5см. В прямоугольном треугольнике ОМР по Пифагору:
ОМ=√(1²+0,5²)= √1,25 ≈ 1,118 ≈ 1,12см .
ответ: расстояние между центрами окружностей равно
√1,25 ≈ 1,12 см.
Или так: по теореме Эйлера в треугольнике расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей находится по формуле:
d² = R² - 2·R·r.
В нашем случае R = 2,5см, а r = 1cм.
тогда d = √(2,5² -2·2,5) = √(2,5·0,5) = √1,25 ≈ 1,12 см.
Пусть О1, О2 и О3 - центры заданных окружностей с радиусами 12, 12 и 1 см.
Стороны треугольника с вершинами в этих точках равны 24 и 2 по 13 см.
Косинус угла α при вершинах О1 иО2 равен:
cos α = (24² + 13² - 13²)/(2*24*13) = 12/13.
Находим стороны АВ и АС треугольника АВС.
АВ = АС = √(12² + 12² -2*12*12*(12/13)) = 12√(2/13) см.
Сторона ВС из подобия равна: 24*(1/13) = 24/13 см.
Высота h треугольника АВС к стороне ВС равна:
h = √(АВ² - (ВС/2)²) = √((144*2/13) - (144/169)) = (12/13)√(26 - 1) = 60/13.
Площадь треугольника АВС равна:
S(АВС) = (1/2)*(24/13)*(60/13) = 720/169.
Радиус R окружности, описанной около треугольника ABC, равен:
R = (abc)/(4S) = ((12√(2/13))-(12√(2/13))*(24/13))/(4*(720/169)) = 1728/720 = 2,4 см.
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Данный треугольник Пифагоров и гипотенуза равна 5см.
Точка М - центр описанной окружности.
Точка О - центр вписанной окружности.
Тогда R=2,5см, то есть ВМ=2,5см.
Радиус вписанной окружности равен по формуле:
r=(AC+BC-АВ)/2 = 2/2=1см.
Итак, СН=r=1см => HB=3-1=2см.
PB=HB=2см (касательные из одной точки).
Тогда МР=2,5-2=0,5см. В прямоугольном треугольнике ОМР по Пифагору:
ОМ=√(1²+0,5²)= √1,25 ≈ 1,118 ≈ 1,12см .
ответ: расстояние между центрами окружностей равно
√1,25 ≈ 1,12 см.
Или так: по теореме Эйлера в треугольнике расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей находится по формуле:
d² = R² - 2·R·r.
В нашем случае R = 2,5см, а r = 1cм.
тогда d = √(2,5² -2·2,5) = √(2,5·0,5) = √1,25 ≈ 1,12 см.