Дано точки A(1 ; √3; 3) B( 1; 0; 2) C(-1; -1; 3) D(-1; 0; 3)
Найти угол между векторами AB и CD
Объяснение:
Координаты вектора АВ(1-1 ;0-√3 ;2-3) или АВ(0;-√3-1) ;
Координаты вектора CD(0 ;1;0).
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: АВ*CD= |АВ|* |CD|*cos∠(АВ;CD) ,
АВ*CD=0*0+(-√3)*1+(-1)*0=-√3 , ( скалярное произведение в координатах);
Дано точки A(1 ; √3; 3) B( 1; 0; 2) C(-1; -1; 3) D(-1; 0; 3)
Найти угол между векторами AB и CD
Объяснение:
Координаты вектора АВ(1-1 ;0-√3 ;2-3) или АВ(0;-√3-1) ;
Координаты вектора CD(0 ;1;0).
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: АВ*CD= |АВ|* |CD|*cos∠(АВ;CD) ,
АВ*CD=0*0+(-√3)*1+(-1)*0=-√3 , ( скалярное произведение в координатах);
|АВ|=√( 0²+(-√3)²+(-1)²)=√(0+3+1)=2 ;
|CD|=√( 0²+1²+0²)=1,
Подставим в АВ*CD= |АВ|* |CD|*cos∠(АВ;CD) ,
-√3=2*1*cos∠(АВ;CD) , cos∠(АВ;CD) =√3/2⇒ ∠(АВ;CD)=150°
Ромб.
∠DAB = 60˚.
AB = 10 см
Найти:АС, BD - ?
Решение:Обозначим пересечение диагоналей ромба в точке О.
"Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны".
⇒АВ = BC = DC = AD = 10 см
Так как ромб - параллелограмм, вспомним свойства параллелограмма:
"У параллелограмма противоположные углы равны".
⇒∠DAB = ∠DCB = 60˚; ∠ABC = ∠ADC.
"Сумма углов четырёхугольника равна 360°".
⇒∠АВС = ∠ADC = 360˚ - (60˚ + 60˚) = 240˚/2 = 120˚
"Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам".
△DAO, △ВАО, △ВСО, △DCO - прямоугольные.
⇒
∠DAO = ∠BAO = 60˚/2 = 30˚
∠DCO = ∠BCO = 60˚/2 = 30˚
∠ADO = ∠CDO = 120˚/2 = 60˚
∠ABO = ∠CBO = 120˚/2 = 60˚
Рассмотрим △DAO, △ВАО, △ВСО, △DCO:
AB = BC = DC = AD = 10 см, по свойству ромба.
∠DAO = ∠BAO = ∠DCO = ∠BCO = 30˚, по свойству диагоналей ромба. (и по свойству самого ромба)
ИЛИ:
∠ADO = ∠CDO = ∠ABO = ∠CBO = 60˚, по свойству диагоналей ромба. (и по свойству самого ромба)
⇒△ADO = △BAO = △BCO = △DCO, по гипотенузе и острому углу.
Рассмотрим △ВАО:
∠ВАО = 30°
АВ = 10 см
"Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы".
⇒ОВ = 10/2 = 5 см
Так как △DAO = △BAO ⇒ DO = 5 см
DB = 10 см.
Так как АВ = AD = DB = 10 см => △DAB - равносторонний.
⇒△DCB - равносторонний, так как DB = BC = DC = 10 см
⇒△DCB = △DAB. (⇒АО = ОС)
Найдём АО и ОС, по теореме Пифагора: (с² = а² + b², где с - гипотенуза; a, b - катеты)
а = √(c² - b²) = √(10² - 5²) = √(100 - 25) = √75 = 5√3 см
Итак, АО = ОС = 5√3 см => АС = 5√3 + 5√3 = 10√3 см
ответ: 10 см, 10√3 см.