Точки А (4; -1), В (2; 4), С (0; -1) являются вершинами параллелограмма АВСD

а) Найдите координаты вершины D

б) Докажите, что параллелограмм АВСD является ромбом

​

По формуле Герона расчитывается площадь S = 84, далее находится радиус вписаной окружности r = 2*S/P = 4 (P = 42 - периметр), ну, и поскольку проекция апофемы в данном случае и есть этот радиус, то высота пирамиды находится из прямоугольного треугольника, составленного апофемой, высотой пирамиды и радиусом вписанной в основание окружности. Угол в этом треугольнике и есть двугранный угол при боковом ребре и основании. Раз он 45 градусов, то H = r = 4

Более подробнае вычисления высоты в треугольнике со сторонами 13,14,15 можно найти

 Сделаем рисунок к задаче. 

Из треугольника CОВ, используя теорему косинусов, запишем соотношение между стороной параллелограмма СВ и половинами диагоналей.

CВ² = CО² + ВО² - 2 · CО · ВО · cos CОВ.

Обозначим диагонали  АС=D, ВD=d

2² = (D/₂)² + (d /₂)² – 2 · (D/₂) · (d/₂)cos (45°);

¹/₄ ·D² + ¹/₄ ·d² – 2 · ( ½ D ) · (½ d ) · (√2)/2 = 4

¹/₄ ·D² + ¹/₄ ·d² – 2 · ¹/₄·( D · d ) · (√2)/2 = 4

Умножим на 4 обе части уравнения
D² + d² – D · d √2 = 16.

Запишем соотношение между стороной АВ параллелограмма и диагоналями для треугольника АОВ

Примем во внимание, что ∠АОВ = 135° и cos 135° = - cos 45° = -√2/2.

Получим такое же уравнение, только это будет не разность, а сумма выражений,

тк. cos 135°- число отрицательное.
D² + d² + D · d √2 = 100.

Из этих уравнений составим систему:
|D² + d² – D · d √2 = 16
|D² + d² + D · d √2 = 100.

Вычтем из второго уравнения первое, получим:
D · d √2-(-D · d √2)=84

2· D · d √2=84

D· d =84:2√2=42 :√2 =42√2:√2·√2=42√2:2=21√2
D· d=21√2

Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними:

S=(D·d·sin α):2=(D·d·sin β):2

SABCD = ½ AС · ВD · sin AОВ

Подставим в эту формулу значение D· d=21√2

SABCD = (D· d sin (45°) ):2= ( 21√2 · √2/2):2 = 10,5.