Обозначим вписанный тр-к АВС, центр окружности О. Одна из сторон по условию АВ = 2√3.
Рассмотрим тр-к АВО. Угол при вершине О уг.АОВ = 120⁰, т.к любая сторона вписанного правильного треугольника стягивает дугу, градусная мера которой равна 1/3 от 360⁰, т.е. 120⁰.
В тр-ке АОВ из вершины О опустим на сторону АВ высоту ОД, она же является медианой и биссектрисой, поскольку тр-к АОВ равнобедренный.
Тогда АД = ВД =√3, а уг. АОД = 60⁰.
В прямоугольном тр-ке АОД гипотенуза ОА, являющаяся радиусом описанной окружности, равна ОА= АД/sin60⁰ = √3: (0,5√3) = 2
Обратим внимание, что АК вдвое меньше АС, а
АL вдвое меньше АВ,
угол А для обоих треугольников общий.
Отсюда эти треугольники имеют две пропорциональные стороны с равным для двух треугольников углом между ними.
Следовательно, эти треугольники подобны:
две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, a углы, заключённые между этими сторонами, равны.
Соответственные углы в подобных треугольниках равны.
Угол В лежит против АС -большей стороны треугольника АВС, и угол ALK лежи против стороны АК, соответственной стороне АС.
Угол ALK равен углу В, что и требовалось доказать.
Обозначим вписанный тр-к АВС, центр окружности О. Одна из сторон по условию АВ = 2√3.
Рассмотрим тр-к АВО. Угол при вершине О уг.АОВ = 120⁰, т.к любая сторона вписанного правильного треугольника стягивает дугу, градусная мера которой равна 1/3 от 360⁰, т.е. 120⁰.
В тр-ке АОВ из вершины О опустим на сторону АВ высоту ОД, она же является медианой и биссектрисой, поскольку тр-к АОВ равнобедренный.
Тогда АД = ВД =√3, а уг. АОД = 60⁰.
В прямоугольном тр-ке АОД гипотенуза ОА, являющаяся радиусом описанной окружности, равна ОА= АД/sin60⁰ = √3: (0,5√3) = 2
Длина окружности С = 2πR = 2·π·2 = 4π
ответ: С = 4π