1)Пусть дан треугольник АВС: АВ=ВС. ВК- высота. Т- точка пересечения биссектрисы АМ и высоты ВК. Свойство биссектрисы угла треугольника : биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Рассмотрим треугольник АВК: ВТ:ТК= АВ:ВК=5:3. Значит ВТ на 4 больше, чем ТК. ТК=х, ВТ=х+4, (х+4):х=5:3, 3х+12=5х, 2х=12, х=6, ТК=6, ВТ=10, ВК=16.
Так как по условию сказано, что АВ:АС=5:6, то обозначим АВ=5t, AK=3t, по теореме Пифагора АВ²=АК²+ВК² 25t²=9t²+256, 16t²=256, t²=16, значит t=4 АВ=20, АК=12, АС=24 Р=20+20+24=64
2) Дан равнобедренный треугольник АВС: АВ=ВС. Высота ВК. ВТ=10, ТК=6. Значит ВК=16. И по свойству биссектрисы АВ:АК=ВТ:ТК=10:6=5:3 Пусть АВ=5х, АК=3х, тогда по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВК: АВ²=АК²+ВК², 25х²=9х²+16². 16х²=16², х²=16, х=4, Значит АВ=20, АС=2АК=2·12=24. Опустим перпендикуляр ТЕ из точки Т на сторону ВС. Найдем ВЕ и ЕС. Из прямоугольного треугольника ТКС: ТК=6, КС=12, значит ТС=√6²+12²=√36+144=√180=6√5. Из прямоугольного треугольника ВТЕ: обозначим ТЕ=у, тогда ВЕ=√(100-у²), Из прямоугольного треугольника ТСЕ:СЕ=√(180-у²), Так как ВЕ+ЕС=ВС, составим уравнение: √(100-у²) +√(180-у²)=20. Это иррациональное уравнение. Возводим в квадрат. √(100-у²)=20-√(180-у²). Возводим в квадрат. 100-у²=400-40√(180-у²)+180-у², √(180-у²)=12, 180-у²=144, у²=36, у=6, значит ВЕ=√100-36=√64=8, ЕС=√180-36=√144=12. Перпендикуляр ТЕ делит боковую сторону на отрезки 8 и 12.
ъясните. (1б) в) Как расположена по отношению к плоскости прямая , параллельная прямой 11? ответ обоснуйте. (1б) 6. Плоскость проходит через основание трапеции . Точки и – середины боковых сторон трапеции . а) Докажите, что прямая параллельна плоскости . (1б) б) Найдите , если = 4, = 6. (1б) 7. Параллелограммы и 11 не лежат в одной плоскости. Докажите параллельность плоскостей 1 и 1. ( 2б) 8. Дан тетраэдр . ∈ , ∈ , ∈ . а) Постройте точку пересечения с плоскостью . (1б) б) Постройте линию пересечения плоскости и плоскости . (1б) 9. Концы двух равных перпендикулярных отрезков и лежат на двух параллельных плоскостях. а) При каком дополнительном условии пересечения отрезков является квадратом? (2б) б) Докажите, что если не является квадратом, то - трапеция, в которой высота равна средней линии. (2б) 10. Дан куб 1111.Точка - середина ребра 11. Найдите косинус угла между прямыми и 1. (5б)
Свойство биссектрисы угла треугольника :
биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Рассмотрим треугольник АВК:
ВТ:ТК= АВ:ВК=5:3.
Значит ВТ на 4 больше, чем ТК.
ТК=х, ВТ=х+4,
(х+4):х=5:3,
3х+12=5х, 2х=12, х=6,
ТК=6, ВТ=10, ВК=16.
Так как по условию сказано, что АВ:АС=5:6, то обозначим АВ=5t, AK=3t, по теореме Пифагора АВ²=АК²+ВК²
25t²=9t²+256,
16t²=256,
t²=16, значит t=4
АВ=20, АК=12, АС=24
Р=20+20+24=64
2) Дан равнобедренный треугольник АВС: АВ=ВС. Высота ВК. ВТ=10, ТК=6.
Значит ВК=16.
И по свойству биссектрисы АВ:АК=ВТ:ТК=10:6=5:3
Пусть АВ=5х, АК=3х, тогда по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВК: АВ²=АК²+ВК²,
25х²=9х²+16².
16х²=16²,
х²=16,
х=4,
Значит АВ=20, АС=2АК=2·12=24.
Опустим перпендикуляр ТЕ из точки Т на сторону ВС. Найдем ВЕ и ЕС.
Из прямоугольного треугольника ТКС: ТК=6, КС=12, значит ТС=√6²+12²=√36+144=√180=6√5.
Из прямоугольного треугольника ВТЕ: обозначим ТЕ=у, тогда ВЕ=√(100-у²),
Из прямоугольного треугольника ТСЕ:СЕ=√(180-у²),
Так как ВЕ+ЕС=ВС,
составим уравнение:
√(100-у²) +√(180-у²)=20. Это иррациональное уравнение. Возводим в квадрат.
√(100-у²)=20-√(180-у²). Возводим в квадрат.
100-у²=400-40√(180-у²)+180-у²,
√(180-у²)=12, 180-у²=144, у²=36, у=6,
значит ВЕ=√100-36=√64=8,
ЕС=√180-36=√144=12.
Перпендикуляр ТЕ делит боковую сторону на отрезки 8 и 12.
в) Как расположена по отношению к плоскости прямая , параллельная прямой
11? ответ обоснуйте. (1б)
6. Плоскость проходит через основание трапеции . Точки и – середины
боковых сторон трапеции .
а) Докажите, что прямая параллельна плоскости . (1б)
б) Найдите , если = 4, = 6. (1б)
7. Параллелограммы и 11 не лежат в одной плоскости. Докажите
параллельность плоскостей 1 и 1.
( 2б)
8. Дан тетраэдр . ∈ , ∈ , ∈ .
а) Постройте точку пересечения с плоскостью . (1б)
б) Постройте линию пересечения плоскости и плоскости . (1б)
9. Концы двух равных перпендикулярных отрезков и лежат на двух параллельных
плоскостях. а) При каком дополнительном условии пересечения
отрезков является квадратом? (2б) б)
Докажите, что если не является квадратом, то - трапеция, в которой высота
равна средней линии. (2б)
10. Дан куб 1111.Точка - середина ребра 11. Найдите косинус угла между
прямыми и 1. (5б)