только подробнее если можно​

Центр вписанной окружности в правильном треугольнике является также точкой пересечения высот. При этом высоты совпадают с медианами, а значит, делятся центром вписанной окружности в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, BO=2/3BH (см. рисунок, здесь BH - высота). Так как ABH - прямоугольный треугольник, в котором катет AH равен 12/2=6, а гипотенуза AB равна 12, катет BH по теореме Пифагора равен √12²-6²=√108=6√3. Значит, BO=4√3. Так как BH перпендикулярно AC, а MN - отрезок прямой, проходящей через центр, параллельный AC, то MN также перпендикулярно BH. Значит, треугольник BMO прямоугольный, и острые углы в нём равны 30 и 60 градусам, то есть он подобен треугольнику ABH. Коэффициент подобия равен BH/BO=3/2. Тогда MO=AH*2/3, AH=6, так как H - середина AC. Тогда MO=4. Так как треугольник правильный, NO=MO, тогда искомый отрезок равен 8.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания. 
Все грани правильной пирамиды - равнобедренные треугольники. 
Поэтому если плоский угол ври вершине равен 60°, то эти треугольники - равносторонние. Следовательно, стороны основания равны боковому ребру.
Поэтому в пирамиде МАВС
АВ=ВС=АС= МА=4 см.
Объём пирамиды равен одной трети произведения её высоты на площадь основания.
Для правильного треугольника 
S(АВС=(a²√3):4 
S=16√3/4=4√3
Центр ∆ АВС лежит в точке пересечения медиан (высот, биссектрис) правильного  треугольника. 
По свойству медиан АО=2/3•АН=АВ•sin60°•2/3
AO=(4•√3/2)•2/3=4/√3
Из прямоугольного  ∆ АМО по т.Пифагора 
МО=√(АМ²-АО²)=(4√2)/√3 
V= см³≈7,54 см³
-------
Правильная треугольная пирамида с плоским углом при вершине 60° -  правильный тетраэдр. 
Формула его объёма 
  где а - длина его ребра.
 см³