Каноническое уравнение параболы y^2=2px Фокус параболы F(p/2,0), тогда F(5/2,0) Вершина параболы О(0,0) Пусть М(х,у) - искомая точка. Расстояние от нее до начала координат : √(x²+y²) Расстояние до фокуса:√((x-5/2)²+y²). Эти расстояния относятся как 8:7, а квадраты расстояний как 64:49. 49(x^²+y²)=64 ((x-5/2)²+y²). М принадлежит параболе и значит y^2=10x 49(x²+10х)=64 ((x-5/2)²+10х) 49х²+490х=64х²-320х+400+640х 15х²-170х+400=0 3х²-34х+80=0 D=1156-960=196 x1=(34-14)/6=10/3⇒y²=100/3⇒y1=-10√3/3 U y2=10√3/3 x2=(34+14)/6=8⇒y³=80⇒y3=-4√5 U y4=4√5 х=8 и х=10/3 Получается 4 точки: (10/3;-10√3/3)(10/3;10√3/3);(8;-4√5);(8;4√5)
Свойство пересекающихся хорд: Произведения длин отрезков, на которые разбита точкой пересечения каждая из хорд, равны. Пусть это будут хорды АВ и СМ, Е -точка их пересечения. АЕ=ВЕ, СЕ=3, МЕ=12 Сделаем рисунок. Соединим А и М, С и В. Рассмотрим получившиеся треугольники АЕМ и ВЕС Они имеют два угла, опирающихся на одну и ту же дугу, следовательно, эти углы равны. Третий их угол также равен. ⇒ Треугольники АЕМ и ВЕС подобны Из подобия следует отношение: АЕ:СЕ=МЕ:ВЕ АЕ*ВЕ=СЕ*МЕ Так как АЕ=ВЕ, то АЕ²=3*12=36 АЕ=√36=6, АВ=2 АЕ=12 см
Фокус параболы F(p/2,0), тогда F(5/2,0)
Вершина параболы О(0,0)
Пусть М(х,у) - искомая точка.
Расстояние от нее до начала координат : √(x²+y²)
Расстояние до фокуса:√((x-5/2)²+y²).
Эти расстояния относятся как 8:7, а квадраты расстояний как 64:49.
49(x^²+y²)=64 ((x-5/2)²+y²).
М принадлежит параболе и значит y^2=10x
49(x²+10х)=64 ((x-5/2)²+10х)
49х²+490х=64х²-320х+400+640х
15х²-170х+400=0
3х²-34х+80=0
D=1156-960=196
x1=(34-14)/6=10/3⇒y²=100/3⇒y1=-10√3/3 U y2=10√3/3
x2=(34+14)/6=8⇒y³=80⇒y3=-4√5 U y4=4√5
х=8 и х=10/3
Получается 4 точки: (10/3;-10√3/3)(10/3;10√3/3);(8;-4√5);(8;4√5)
Произведения длин отрезков, на которые разбита точкой пересечения каждая из хорд, равны.
Пусть это будут хорды АВ и СМ, Е -точка их пересечения.
АЕ=ВЕ, СЕ=3, МЕ=12
Сделаем рисунок. Соединим А и М, С и В.
Рассмотрим получившиеся треугольники АЕМ и ВЕС
Они имеют два угла, опирающихся на одну и ту же дугу, следовательно, эти углы равны. Третий их угол также равен. ⇒
Треугольники АЕМ и ВЕС подобны
Из подобия следует отношение:
АЕ:СЕ=МЕ:ВЕ
АЕ*ВЕ=СЕ*МЕ
Так как АЕ=ВЕ, то
АЕ²=3*12=36
АЕ=√36=6,
АВ=2 АЕ=12 см