O(2;-1).
Объяснение:
Найдем длины сторон:
|AB| = √((Xb-Xa)² + (Yb-Ya)²) = √((6-(-4))² + (1-3)²) = √104 ед.
|СD| = √((Xd-Xc)² + (Yd-Yc)²) = √((-2-8)² + (-3-(-5))²) = √104 ед.
|BC| = √((Xc-Xb)² + (Yc-Yb)²) = √((8-6)² + (-5-1)²) = √40 ед.
|AD| = √((Xd-Xa)² + (Yd-Ya)²) = √((-2-(-4))² + (-3-3)²) = √40 ед.
Противоположные стороны четырехугольника ABCD попарно равны => четырехугольник ABCD - параллелограмм по признаку.
Что и требовалось доказать.
Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Значит достаточно найти координаты середины отрезка АС.
Xo = (Xa+Xc)/2 = (-4+8)/2 = 2.
Yo = (Ya+Yc)/2 = (3-5)/2 = -1.
1) Длины рёбер АВ, АС, АS x y z
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} 2 -2 1
Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA} -2 11 -10
Вектор АS={xS-xA, yS-yA, zS-zA} 8 -11 16
Модули (длины) равны:
|AB| = √(4 + 4 + 1) = √9 = 3.
|AC| = √(4 + 121 + 100) = √225 = 15.
|AS| = √(64 + 121 + 256) = √441 = 21.
2) Угол между ребрами АВ и АС.
cos(AB_AC) = (2*-2 + -2*11 + 1*-10) / (3*15) = (-4 - 22 - 10) / 45 = -36 /45 =
= -4/5.
∠(AB_AC) = arc cos(-4/5) = 2,4981 радиан = 143,1301 градуса.
3) Длина проекции ребра АВ на ребро АS.
Пр(АВ_AS) = (2*8 + -2*-11 + 1 *16) / 21 = (16 + 22 +16) / 21 = 54/21 = 18/7.
4) Площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС .
АВ= (2; -2; 1 ), АC (-2; 11; -10).
i j k | i j
2 -2 1 | 2 -2
-2 11 -10 | -2 11 = 0
= 20i - 2j + 22k + 20j - 11i - 4k = 9i + 18j + 18k = (9; 18; 18).
S(ABC) = (1/2)*√( 81 + 324 + 324) = (1/2)√729 = 13,5.
O(2;-1).
Объяснение:
Найдем длины сторон:
|AB| = √((Xb-Xa)² + (Yb-Ya)²) = √((6-(-4))² + (1-3)²) = √104 ед.
|СD| = √((Xd-Xc)² + (Yd-Yc)²) = √((-2-8)² + (-3-(-5))²) = √104 ед.
|BC| = √((Xc-Xb)² + (Yc-Yb)²) = √((8-6)² + (-5-1)²) = √40 ед.
|AD| = √((Xd-Xa)² + (Yd-Ya)²) = √((-2-(-4))² + (-3-3)²) = √40 ед.
Противоположные стороны четырехугольника ABCD попарно равны => четырехугольник ABCD - параллелограмм по признаку.
Что и требовалось доказать.
Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Значит достаточно найти координаты середины отрезка АС.
Xo = (Xa+Xc)/2 = (-4+8)/2 = 2.
Yo = (Ya+Yc)/2 = (3-5)/2 = -1.
O(2;-1).
1) Длины рёбер АВ, АС, АS x y z
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} 2 -2 1
Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA} -2 11 -10
Вектор АS={xS-xA, yS-yA, zS-zA} 8 -11 16
Модули (длины) равны:
|AB| = √(4 + 4 + 1) = √9 = 3.
|AC| = √(4 + 121 + 100) = √225 = 15.
|AS| = √(64 + 121 + 256) = √441 = 21.
2) Угол между ребрами АВ и АС.
cos(AB_AC) = (2*-2 + -2*11 + 1*-10) / (3*15) = (-4 - 22 - 10) / 45 = -36 /45 =
= -4/5.
∠(AB_AC) = arc cos(-4/5) = 2,4981 радиан = 143,1301 градуса.
3) Длина проекции ребра АВ на ребро АS.
Пр(АВ_AS) = (2*8 + -2*-11 + 1 *16) / 21 = (16 + 22 +16) / 21 = 54/21 = 18/7.
4) Площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС .
АВ= (2; -2; 1 ), АC (-2; 11; -10).
i j k | i j
2 -2 1 | 2 -2
-2 11 -10 | -2 11 = 0
= 20i - 2j + 22k + 20j - 11i - 4k = 9i + 18j + 18k = (9; 18; 18).
S(ABC) = (1/2)*√( 81 + 324 + 324) = (1/2)√729 = 13,5.