треугольнике ABC угол B=90°,AB=BC, BD- медиана треугольника, AC=2√2. Вычислите скалярное произведение векторов а) BD×AC; б) BD×BC; в) BD×BD.

Объяснение:

Дано: tg a + ctg a = 9.

Примем tg a  = t,   ctg a = 1/t.

Подставим в заданное уравнение:  t + 1/ t = 9.

Приведя к общему знаменателю, получаем квадратное уравнение:

t² - 9t + 1 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно t:  

Ищем дискриминант:

D=(-9)^2-4*1*1=81-4=77;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

t_1 = (√77-(-9))/(2*1) = (√77+9)/2 = √77/2+9/2=√77/2+4.5 ≈ 8.887482

t_2 =  (-√77-(-9))/(2*1) = (-√77+9)/2 = -√77/2+9/2 = -√77/2+4.5 ≈ 0.112518.

Так как 1/8,887482 = 0,112518, а 1/8,887482 = 0,112518, то мы получили 2 пары значений тангенса и котангенса угла.

Далее используем формулы перехода от одной функции к другой.

sin α = tg α/+-√(1 + tg²α) = (√77/2+4.5)/(√(1 + (√77/2+4.5)²) = √((9-√77)/18) ≈ 0,111812 .

Аналогично для второго значения тангенса находим:

sin α = √((9+√77)/18) ≈ 0,993729.

Косинусы равны обратным значениям синусов.

cos α = √((9+√77)/18) ≈ 0,993729.

cos α = √((9-√77)/18) ≈ 0,111812 .

1.
Радиус  r вписанной в прямоугольный треугольник определяется по формуле : r =(a+b-c)/2 =(3+4 -√(3²+4²))/2 =(3+4-5)/2 =1.
S =π*r₁² ⇒  r₁ =√(S/π)=√(25/8π) =√((25/4)/2π) = √6,25/√(2π)  < 1 = r.
значит можно.
2. Не может.
k₁ , 2k₁ ; k₂ , 2k₂ ; k₃ , 2k₃ .
Если :
AD : DB  = 1 : 2  ⇒AD = k₁ , DB  = 2k₁  ;  AB =3k₁.
BE : EC  = 1 : 2  ⇒BE = k₂ , EC  =  2k₂  ;  BC=3k₂.
CF : FA   =  1 : 2 ⇒CF = k₃ , FA  =  2k₃  ; AC =3k₃.
DB =BE ⇒k₂ =2k₁ ;
EC =CF ⇒k₃ =2k₂ =4k₁ .
AB =3k₁; BC =3k₂ =6k₁ ; AC =3k₃=3*4k₁ =12k₁
⇒ AB+BC< AC ,что невозможно.

Если :
AD : DB  = 1 : 2  ⇒AD = k₁ , DB  = 2k₁  ;  AB =3k₁.
BE : EC  = 2 : 1  ⇒BE = 2k₂ , EC  =  k₂  ;  BC=3k₂.
DB =BE ⇒2k₁=2k₂ ⇒AB =BC тогда  точка касания  F середина  AC.