Для упрощения записей примем, что куб АВСDА1В1С1D1 - единичный, то есть его сторона равна 1. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или другими словами это две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными. Значит MN и A1C - скрещивающиеся прямые. Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся. Проведем прямую СР параллельно прямой MN. Угол А1СР - искомый угол. NA=√(АВ²+ВN²)=√(1+1/4)=√5/2 (по Пифагору). NM=√(NA²+AM²)=√(5/4+9/16)=√29/4 (по Пифагору). CP=NM=√29/4. CA1=√(2+1)=√3 (диагональ куба). А1Р=√(MA1²+MP²)=√(1/16+1/4)=√5/4. По теореме косинусов: Cosα=(CA1²+CP²-A1P²)/(2CA1*CP) или Cosα=(3+29/16-5/16)/(2√3*√29/4)=(72/16)/(√87\2)=9/√87. ответ: Cosα=9/√87.
Второй вариант решения - координатный метод. Пусть куб единичный, то есть сторона его "а"=1. Начало координат в точке С(0;0;0). Точка N(0;1/2;0), точка М(1;1;3/4), точка А1(1;1;1). Тогда вектор MN{-1;-1/2;-3/4}, его модуль |MN|=√(1+1/4+9/16)=√29/4. Вектор А1С{-1;-1;-1}, |A1C|=√(1+1+1)=√3. Cosα=(MN*A1C)/(|MN|*|A1C|) или Cosα=(1+1/2+3/4)/(√87/4)=9/√87. ответ: Cosα=9/√87.
В условии явно не отобразилось √2 при значении диагонали. .
Правильное условие задачи:
Найдите косинус угла между плоскостями квадрата ABCD и равностороннего треугольника ABM, если диагональ квадрата равна 4√2 см и расстояние от точки M до стороны DC равно 5 см.
Решение. (см. рисунок 1)
Диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных треугольника с острым углом 45°. Поэтому сторона квадрата равна АВ=4√2•sin 45°=4 (cм).
Искомый угол - угол между высотой МН правильного треугольника АМН и отрезком КН, проведенными перпендикулярно к середине АВ.
МН= АВ•sin60°=4•√3/2=2√3
Расстояние от точки до прямой - длина отрезка, проведенного из данной точки перпендикулярно к прямой.
По т. о трёх перпендикулярах МК ⊥ - ⇒ это расстояние от М до CD, равное 5 см. По т.косинусов
cos∠MHK=(KM²-KN²+MH²):(-2•KH•MH)
cos∠MHK=(25- 16-12):(-2•4•2√3)=√3/16
* * *
Решение по данному в вопросе условию:
Если диагональ квадрата равна 4 см, то, т.к. она делит квадрат на два равных прямоугольных равнобедренный с острым углом 45°, его сторона равна 4•sin45°=2√2.
Искомый угол - угол между перпендикулярами, проведенными в каждой плоскости к одной точке на стороне АВ. (на линии их пересечения), т.е. это угол между высотой МК треугольника АМВ и отрезком КН, проведенным через середины сторон АВ и СD квадрата, т.к. МК⊥АВ, и НК⊥АВ.
АВ - общая для квадрата и равностороннего треугольника, и
МК=АВsin 60°=2√2•√3/2=√6
Расстояние от точки до прямой - длина отрезка, проведенного из данной точки перпендикулярно к прямой.
Т.к. КН ⊥СD, то по т. о трех перпендикулярах МК⊥CD, ⇒ МК=5.
По т.косинусов из ∆ МКН
cos ∠MKH=(MH²-MK²-KH²)² (- 2MK•KH)
cos ∠MKH=(25-8-6): (-2•2√12)
cos ∠MKH= -11/8√3= - 0,7939 Это косинус тупого угла.
Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или другими словами это две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными.
Значит MN и A1C - скрещивающиеся прямые.
Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся.
Проведем прямую СР параллельно прямой MN. Угол А1СР - искомый угол.
NA=√(АВ²+ВN²)=√(1+1/4)=√5/2 (по Пифагору).
NM=√(NA²+AM²)=√(5/4+9/16)=√29/4 (по Пифагору).
CP=NM=√29/4.
CA1=√(2+1)=√3 (диагональ куба).
А1Р=√(MA1²+MP²)=√(1/16+1/4)=√5/4.
По теореме косинусов:
Cosα=(CA1²+CP²-A1P²)/(2CA1*CP) или
Cosα=(3+29/16-5/16)/(2√3*√29/4)=(72/16)/(√87\2)=9/√87.
ответ: Cosα=9/√87.
Второй вариант решения - координатный метод.
Пусть куб единичный, то есть сторона его "а"=1.
Начало координат в точке С(0;0;0).
Точка N(0;1/2;0), точка М(1;1;3/4), точка А1(1;1;1).
Тогда вектор MN{-1;-1/2;-3/4}, его модуль
|MN|=√(1+1/4+9/16)=√29/4.
Вектор А1С{-1;-1;-1}, |A1C|=√(1+1+1)=√3.
Cosα=(MN*A1C)/(|MN|*|A1C|) или
Cosα=(1+1/2+3/4)/(√87/4)=9/√87.
ответ: Cosα=9/√87.
В условии явно не отобразилось √2 при значении диагонали. .
Правильное условие задачи:
Найдите косинус угла между плоскостями квадрата ABCD и равностороннего треугольника ABM, если диагональ квадрата равна 4√2 см и расстояние от точки M до стороны DC равно 5 см.
Решение. (см. рисунок 1)
Диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных треугольника с острым углом 45°. Поэтому сторона квадрата равна АВ=4√2•sin 45°=4 (cм).
Искомый угол - угол между высотой МН правильного треугольника АМН и отрезком КН, проведенными перпендикулярно к середине АВ.
МН= АВ•sin60°=4•√3/2=2√3
Расстояние от точки до прямой - длина отрезка, проведенного из данной точки перпендикулярно к прямой.
По т. о трёх перпендикулярах МК ⊥ - ⇒ это расстояние от М до CD, равное 5 см. По т.косинусов
cos∠MHK=(KM²-KN²+MH²):(-2•KH•MH)
cos∠MHK=(25- 16-12):(-2•4•2√3)=√3/16
* * *
Решение по данному в вопросе условию:
Если диагональ квадрата равна 4 см, то, т.к. она делит квадрат на два равных прямоугольных равнобедренный с острым углом 45°, его сторона равна 4•sin45°=2√2.
Искомый угол - угол между перпендикулярами, проведенными в каждой плоскости к одной точке на стороне АВ. (на линии их пересечения), т.е. это угол между высотой МК треугольника АМВ и отрезком КН, проведенным через середины сторон АВ и СD квадрата, т.к. МК⊥АВ, и НК⊥АВ.
АВ - общая для квадрата и равностороннего треугольника, и
МК=АВsin 60°=2√2•√3/2=√6
Расстояние от точки до прямой - длина отрезка, проведенного из данной точки перпендикулярно к прямой.
Т.к. КН ⊥СD, то по т. о трех перпендикулярах МК⊥CD, ⇒ МК=5.
По т.косинусов из ∆ МКН
cos ∠MKH=(MH²-MK²-KH²)² (- 2MK•KH)
cos ∠MKH=(25-8-6): (-2•2√12)
cos ∠MKH= -11/8√3= - 0,7939 Это косинус тупого угла.
По данному решению рисунок в приложении 2.