У теоретичному матеріалі була можливість ознайомитися з основними побудовами, що створюються за до циркуля та лінійки. Назвемо їх основними конструкціями. 1. На даному промені від його початку відкласти відрізок, рівний даному.
2. Побудувати кут, рівний даному.
3. Провести бісектрису кута.
4. Побудувати перпендикулярні прямі.
5. Прокласти середини відрізка.
Назви основні конструкції для побудови трикутника ULF, рівного даному трикутнику UGF.
Зверни увагу, що ці трикутники мають спільну сторону UF.
Если известна некоторая точка пространства М(x0;y0;z0) , принадлежащая прямой, и направляющий вектор p(p1;p2;p3) данной прямой, то канонические уравнения этой прямой выражаются формулами:
(x-x0)/p1 = (y-y0)/p2 = (z-z0)/p3.
В нашем случае точка М1(1;-2;-1) принадлежит прямой l1, направляющий вектор которой р1{1;-1;-2}. Tочка М2(-1;1;-1) принадлежит прямой l2, направляющий вектор которой р2{-1;2;1}.
Найдем векторное произведение векторов р1 и р2. По определению это произведение дает нам вектор, перпендикулярный плоскости параллелограмма, построенного на этих векторах.
| i j k |
p = (р1*р2) = | 1 -1 -2 | = (-1 - (-4))·i - (1 - 2)·j + (2-1)·k. Или
| -1 2 1 |
p{3;1;1} - направляющий вектор искомого общего перпендикуляра.
Перепишем уравнения первой прямой в параметрической форме:
x = t +1
L1: (x - 1)/1 = (y+2)/-1 = (z+1)/-2 => y = -t -2
z = -2t -1
Обозначим точку Т1 на прямой L1 через параметр tо:
x1 = tо +1
Т1: y1 = -tо - 2
z1 = -2tо-1
Или Т1( tо +1;-tо -2;-2tо -1).
То же самое со второй прямой:
x = -s -1
L2: (x + 1)/-1 = (y-1)/2 = (z+1)/1 => y = 2s +1
z = s -1
Обозначим точку Т2 на прямой L2 через параметр sо:
x2 = -sо - 1
Т2: y2 = 2sо + 1
z2 = sо - 1
Или Т2(-sо - 1;2sо + 1;sо - 1).
Вектор Т1Т2, как и вектор р{3;1;1} - направляющий вектор искомого общего перпендикуляра.
Находим координаты вектора Т1Т2 по известному правилу:
Железнодорожная линия между городами образует треугольник АЧТ, где А - Алматы, Ч - Чу и Т -Тараз. Углы поворотов при этих городах найдем по теореме косинусов.
(x -21/11)/(-9/11) = (y+32/11)/-(3/11) = (z+31/11)/(-3/11).
Объяснение:
Если известна некоторая точка пространства М(x0;y0;z0) , принадлежащая прямой, и направляющий вектор p(p1;p2;p3) данной прямой, то канонические уравнения этой прямой выражаются формулами:
(x-x0)/p1 = (y-y0)/p2 = (z-z0)/p3.
В нашем случае точка М1(1;-2;-1) принадлежит прямой l1, направляющий вектор которой р1{1;-1;-2}. Tочка М2(-1;1;-1) принадлежит прямой l2, направляющий вектор которой р2{-1;2;1}.
Найдем векторное произведение векторов р1 и р2. По определению это произведение дает нам вектор, перпендикулярный плоскости параллелограмма, построенного на этих векторах.
| i j k |
p = (р1*р2) = | 1 -1 -2 | = (-1 - (-4))·i - (1 - 2)·j + (2-1)·k. Или
| -1 2 1 |
p{3;1;1} - направляющий вектор искомого общего перпендикуляра.
Перепишем уравнения первой прямой в параметрической форме:
x = t +1
L1: (x - 1)/1 = (y+2)/-1 = (z+1)/-2 => y = -t -2
z = -2t -1
Обозначим точку Т1 на прямой L1 через параметр tо:
x1 = tо +1
Т1: y1 = -tо - 2
z1 = -2tо-1
Или Т1( tо +1;-tо -2;-2tо -1).
То же самое со второй прямой:
x = -s -1
L2: (x + 1)/-1 = (y-1)/2 = (z+1)/1 => y = 2s +1
z = s -1
Обозначим точку Т2 на прямой L2 через параметр sо:
x2 = -sо - 1
Т2: y2 = 2sо + 1
z2 = sо - 1
Или Т2(-sо - 1;2sо + 1;sо - 1).
Вектор Т1Т2, как и вектор р{3;1;1} - направляющий вектор искомого общего перпендикуляра.
Находим координаты вектора Т1Т2 по известному правилу:
Т1Т2 = {-sо - 1- (tо +1);2sо + 1 -(-tо -2);sо - 1 - (-2tо-1)} или
Т1Т2 = {-sо - tо -2;2sо +tо +3;sо +2tо)}.
Так как векторы р{3;1;1} и Т1Т2{-sо - tо -2;2sо +tо +3;sо +2tо)} коллинеарны, то
Т1Т2{-sо - tо -2;2sо +tо +3;sо +2tо)} = k*р{3;1;1}. =>
-sо - tо -2 = 3k (1)
2sо +tо +3= k (2)
sо +2tо = k (3)
Имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными.
2sо +tо +3= sо +2tо => to = so+3
-so -so-3 -2 = 3(sо +2tо) => -so -so-5 = 3(sо +2(so+3)).
so = -23/11. => to = 10/11 => k= -3/11. =>
T1(21/11;-32/11;-31/11).
T2(12/11;-35/11;-34/11).
Проверим:
Подставим координаты точки Т1 в уравнение прямой L1 =>
10/11 = 10/11 = 10/11. OK!
Подставим координаты точки Т2 в уравнение прямой L2 =>
-23/11 = -23/11 = -23/11. OK!
Точки Т1 и Т2 принадлежат соответственно прямым L1 и L2.
Ну и окончательно:
уравнение прямой, проходящей через две точки (Т1 и Т2) по формуле
(x - x1)/(x2-x1) = (y - y1)/(y2-y1) = (z - z1)/(z2-z1):
L3: (x -21/11)/(-9/11) = (y+32/11)/-(3/11) = (z+31/11)/(-3/11).
Проверка:
Вектор Т1Т2 = {23/11-10/11-22/11;-46/11+10/11+33/11;-23/11+2011} или
Т1Т2{-9/11;-3/11;-3/11}.
Вектор р1{1;-1;-2}.
Cкалярное произведение этих векторов: (-9/11 + 3/11 + 6/11) = 0 =>
Вектора перпендикулярны!
Вектор р2{-1;2;1}.
Cкалярное произведение этих векторов: (9/11 - 6/11 - 3/11) = 0 =>
Вектора перпендикулярны!
То есть вектор, проходящий через точки Т1 и Т2 перпендикулярен направляющим векторам прямых L1 и L2 =>
Прямая L3 является общим перпендикуляром к прямым L1 и L2.
∠А = 13°. ∠Ч = 150,7°. ∠Т = 16,3°.
Объяснение:
Железнодорожная линия между городами образует треугольник АЧТ, где А - Алматы, Ч - Чу и Т -Тараз. Углы поворотов при этих городах найдем по теореме косинусов.
По теореме косинусов:
СosA = (260²+453²-208²)/(2·260·453) = 229454/235560 ≈ 0,974.
СosЧ = (260²+208²-453²)/(2·260·208) = -94345/108160 ≈ -0,872.
СosТ = (208²+453²-260²)/(2·208·453) = 180873/188448 ≈ 0,960.
∠А = arccos(0,974) ≈ 13°.
∠Ч = arccos(-0,872) ≈ 150,7°.
∠Т = arccos(0,960) ≈ 16,3°.
Проверка: 13+150,7+16,3 =180°