1. Пусть E - середина BC. Тогда из треугольника ABC имеем: AE=AC*sin(pi/3) (так как все углы в равностороннем треугольнике равны pi/3)=a*(корень из 3)/2. Далее в треугольнике ADE угол AED равен по условию pi/6, так что AD=AE*tg(pi/3)=a/2, DE=AE/cos(pi/6)=a. Таким образом, площадь боковой поверхности равна AC*AD/2+AB*AD/2+BC*DE/2=a*a/2/2+a*a/2/2+a*a/2=a*a
2. Высота ромба равна a*sin(pi/3)=a*(корень из 3)/2. Так как плоскость АД1С1 составляет с плоскостью основания угол 60 градусов, то высота параллелерипеда (то есть DD1, например) равна a*tg(pi/3)=a*(корень из 3). Таким образом, площадь боковой поверхности равна 4*a*a*(корень из 3), полной 4*a*a*(корень из 3)+a*a*(корень из 3)/2=a*a*9*(корень из 3)/2
2. Высота ромба равна a*sin(pi/3)=a*(корень из 3)/2. Так как плоскость АД1С1 составляет с плоскостью основания угол 60 градусов, то высота параллелерипеда (то есть DD1, например) равна a*tg(pi/3)=a*(корень из 3). Таким образом, площадь боковой поверхности равна 4*a*a*(корень из 3), полной 4*a*a*(корень из 3)+a*a*(корень из 3)/2=a*a*9*(корень из 3)/2
Пусть общая высота конуса и пирамиды равна Н.
Обозначим объемы конуса и пирамиды через V1 и V2 соответственно ,
а их боковые поверхности – через S1 и S2
тогда V1=1/3pi*R^3H , S1=pi*RL ,
где L-образующая конуса.
Найдем V2 и S2.
Так как периметр основания пирамиды равен 2р ,
а основание конуса – вписанная в основание пирамиды окружность,
то площадь основания пирамиды равна pR,
откуда V2=1/3pRH, S2=pL (высота любой грани равна L).
Тогда
V1 : V2 =1/3piR^2H : 1/3pRH = pi*R/p
S1 : S2 =pi*RL : pL = pi*R/p
ответ V1 : V2 = S1 : S2 = pi*R/p