Сегодня такая же задача была на экзамене у меня. Пусть O - точка пересечения медианы и биссектрисы. Нам нужно найти стороны AB, BC и AC. Медиана AD делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника : S ADC = S ADB = 1/2 S ABC. Соединим точки E и D . Отрезок ED будет являться медианой треугольника BEC значит S DBE = S EDC .
Рассмотрим треугольник ABD : 1) В нём углы ABE и DBE равны так как BE биссектриса, но BO ещё и является высотой треугольника, так как BE ⊥ AD. 2)Поэтому треугольник ABD равнобедренный и AB = BD. 3) Медиана BO делит основание AD на два равных отрезка AO=OD=136 / 2=68.
Рассмотрим треугольники ABE и DBE: 1) В них углы ABE и DBE равны так как BE биссектриса . BE общая сторона , AB = BD 2) Треугольник ABE равен треугольнику DBE по первому признаку,поэтому S ABE = S DBE = S EDC = 1/3 S ABC. S ABE = 1/2 * BE * AO =1/2 * 136 * 68 = 4624. S ABC= 3 S ABE = 4624 * 3 = 13872. S ABD = 1/2 S ABC = 13872 / 2 = 6936. S ABD= 1/2 * AD * BO = 6936 ===> 68 * BO = 6936 = => BO = 102.
Рассмотрим треугольник ABO : 1) В нём угол BOA = 90° так как BO ⊥ AD. 2) Поэтому треугольник ABO прямоугольный и по теореме Пифагора находим AB = √(BO² + AO²)= √(10404 + 4624)= √15028= √(4 * 13 * 17 *17) = 34*√13. Так как AD - медиана,то BD = DC = AB =34*√13. Поэтому сторона BC равна 2 * AB = 68 *√13. Осталось найти последнюю сторону AC Рассмотрим треугольник AEO: 1) В нём угол AOE=90 , OE= BE- BO = 136 -102 = 34. 2) Поэтому треугольник AEO прямоугольный , и по теореме пифагора находим гипотенузу AE . AE = √( 0E² + AO ²)= √( 1156 + 4624)=√5780=√(5* 4 * 17 * 17) = 17* 2 *√5 = 34*√5.
Так как BE - биссектриса, то она делит сторону AC на отрезки, которые одинаково относятся к прилегающим им сторонам AB и BС , тоесть AE/AB = EC/BC. (34 * √5) / (34 * √13) = EC / (68 * √13) . Если всё сократить и воспользоваться свойством пропорции получаем ,что EC =68 * √5 . AC = AE + EC = (68 *√5) + (34 * √5 )=√5 * ( 68 + 34 ) = 102 * √5.
ответ : AB = 34 * √13, BC = 68 * √13, AC = 102 * √5.
Продлим боковые стороны трапеции до пересечения в точке М. Сумма углов при основании треугольника АМВ равна 90°, следовательно, угол АМD равен 180°-90°=90° Рассмотрим треугольники АМD и BМC. Так как ВС|| АD, соответственные углы при их пересечении секущими АМ и DМ равны. Рассматриваемые треугольники подобны по трем углам. Отсюда АМ:BМ=AD:BC (10+BМ):BМ=18:6 6*(10+ВМ)=18 ВМ 60+6 ВМ=18 ВМ 12 ВМ=60 ВМ=5 Из С проведем СО параллельно АВ. В четырехугольнике АВСО противоположные стороны параллельны, ⇒АВСО= параллелограмм, и АО=ВС=6 см, СО=АВ=10 см Из вершины В проведем прямую ВК параллельно СD до пересечения с АD. ВМ=ТС=5 ( т.к. ВМСТ- прямоугольник из параллельности его сторон и равенства углов) ⇒ Т - середина ОС, который равен АВ, угол ВСТ=углу ТОК как накрестлежащие. Вертикальные углы при Т - равны. Следовательно, ⊿ ВТС=⊿ ОТК по двум углам, прилежащим к равной стороне. ⇒ ОК=ВС=6 АО=ОК=6 см Угол АВК вписанный и прямой, опирается на АК ⇒ диаметр, О - его середина. ⇒ R= АО=6 см --------- Но так и напрашивается другое решение, при котором величина АВ как будто бы является лишней. Если мы проведем ВК параллельно МD. то угол АВК - прямой, опирается на АК , и потому АК - диаметр. Поскольку DК=ВС=6, то АК=18-6=12, и тогда R=12:2=6 см)
Медиана AD делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника : S ADC = S ADB = 1/2 S ABC.
Соединим точки E и D . Отрезок ED будет являться медианой треугольника BEC значит S DBE = S EDC .
Рассмотрим треугольник ABD : 1) В нём углы ABE и DBE равны так как BE биссектриса, но BO ещё и является высотой треугольника, так как BE ⊥ AD.
2)Поэтому треугольник ABD равнобедренный и AB = BD. 3) Медиана BO делит основание AD на два равных отрезка AO=OD=136 / 2=68.
Рассмотрим треугольники ABE и DBE: 1) В них углы ABE и DBE равны так как BE биссектриса . BE общая сторона , AB = BD 2) Треугольник ABE равен треугольнику DBE по первому признаку,поэтому S ABE = S DBE = S EDC = 1/3 S ABC.
S ABE = 1/2 * BE * AO =1/2 * 136 * 68 = 4624.
S ABC= 3 S ABE = 4624 * 3 = 13872.
S ABD = 1/2 S ABC = 13872 / 2 = 6936.
S ABD= 1/2 * AD * BO = 6936 ===> 68 * BO = 6936 = => BO = 102.
Рассмотрим треугольник ABO : 1) В нём угол BOA = 90° так как BO ⊥ AD.
2) Поэтому треугольник ABO прямоугольный и по теореме Пифагора находим AB = √(BO² + AO²)= √(10404 + 4624)= √15028= √(4 * 13 * 17 *17) = 34*√13.
Так как AD - медиана,то BD = DC = AB =34*√13. Поэтому сторона BC равна 2 * AB = 68 *√13.
Осталось найти последнюю сторону AC
Рассмотрим треугольник AEO:
1) В нём угол AOE=90 , OE= BE- BO = 136 -102 = 34.
2) Поэтому треугольник AEO прямоугольный , и по теореме пифагора находим гипотенузу AE . AE = √( 0E² + AO ²)= √( 1156 + 4624)=√5780=√(5* 4 * 17 * 17) = 17* 2 *√5 = 34*√5.
Так как BE - биссектриса, то она делит сторону AC на отрезки, которые одинаково относятся к прилегающим им сторонам AB и BС , тоесть AE/AB = EC/BC. (34 * √5) / (34 * √13) = EC / (68 * √13) . Если всё сократить и воспользоваться свойством пропорции получаем ,что EC =68 * √5 .
AC = AE + EC = (68 *√5) + (34 * √5 )=√5 * ( 68 + 34 ) = 102 * √5.
ответ : AB = 34 * √13, BC = 68 * √13, AC = 102 * √5.
Сумма углов при основании треугольника АМВ равна 90°, следовательно, угол АМD равен 180°-90°=90°
Рассмотрим треугольники АМD и BМC.
Так как ВС|| АD, соответственные углы при их пересечении секущими АМ и DМ равны. Рассматриваемые треугольники подобны по трем углам. Отсюда АМ:BМ=AD:BC
(10+BМ):BМ=18:6
6*(10+ВМ)=18 ВМ
60+6 ВМ=18 ВМ
12 ВМ=60
ВМ=5
Из С проведем СО параллельно АВ.
В четырехугольнике АВСО противоположные стороны параллельны, ⇒АВСО= параллелограмм, и АО=ВС=6 см, СО=АВ=10 см
Из вершины В проведем прямую ВК параллельно СD до пересечения с АD. ВМ=ТС=5 ( т.к. ВМСТ- прямоугольник из параллельности его сторон и равенства углов) ⇒
Т - середина ОС, который равен АВ,
угол ВСТ=углу ТОК как накрестлежащие.
Вертикальные углы при Т - равны.
Следовательно, ⊿ ВТС=⊿ ОТК по двум углам, прилежащим к равной стороне. ⇒
ОК=ВС=6
АО=ОК=6 см
Угол АВК вписанный и прямой, опирается на АК ⇒ диаметр, О - его середина. ⇒
R= АО=6 см
---------
Но так и напрашивается другое решение, при котором величина АВ как будто бы является лишней.
Если мы проведем ВК параллельно МD. то угол АВК - прямой, опирается на АК , и потому АК - диаметр. Поскольку DК=ВС=6, то АК=18-6=12, и тогда R=12:2=6 см)