В остроугольном треугольнике ABC построили высоту BD. Из точки D опустили перпендикуляры DL и DF соответственно на стороны треугольникаAB и BC. Биссектриса угла ABD пересекает DL и AD в точках S и Qсоответственно. Аналогично биссектриса угла DBC пересекает DF и DC в точках T и N соответственно. Пусть точки K, O и L середины отрезков SO, BDи TN соответственно. Докажите, что KO=LO.
Дано: MNPK - четырехугольник,
MN║PK, NP║MK,
NA - биссектриса ∠N,
KB - биссектриса ∠К.
Доказать: NA║КB или NA и КВ совпадают.
Доказательство:
Так как в четырехугольнике противолежащие стороны параллельны, то это параллелограмм (по определению).
В параллелограмме противолежащие углы равны
∠N = ∠K, значит равны и их половины:
∠MNA = ∠BNA = ∠РКВ = ∠∠АКВ.
∠РВК = ∠АКВ как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых NP и МК секущей КВ, значит
∠РВК = ∠BNA, а эти углы - соответственные при пересечении прямых КВ и NA секущей PN, значит KB║NA.
КВ и NA могут совпадать, если диагональ параллелограмма является биссектрисой углов N и К, т.е. если MNPK ромб.
АВСЕ - пирамида с вершиной Е. ЕО=6 см.
В тр-ках ЕАО, ЕВО и ЕСО углы ЕАО=ЕВО=ЕСО=30°., ЕО - перпендикуляр к АО, ВО и СО.,ЕО для них общая. Т.к. два угла равны и соответствующе расположенные стороны равны утверждаем, что эти треугольники равны. Значит АО=ВО=СО.
Для любого тр-ка центр описанной окружности лежит на равном удалении от его вершин. В данном случае для тр-ка АВС это точка О.
В тр. ЕАО tgA=ЕО/АО, АО=ЕО/tgA=6√3 cм. - радиус окружности.
В окружности вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла: 2*∠АВС=∠АОС(р), (следует учитывать, что этот ∠АОС(р) - внешний развёрнутый, больше 180°). ∠АОС(р)=300°.
В тр-ке АСО ∠АОС=360-∠АОС(р)=60°
Т.к. АО=СО и ∠АОС=60°, то тр-ик АСО - равносторонний, значит АС=АО=6√3 см.
Всё!