Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB равна 10, а высота SH равна 24. Точки M и N - середины рёбер SB и AB.
а) Находим длину L бокового ребра.
Перед этим определяем высоту основания:
h = a√3/2 = 10√3/2 = 5√3.
L = √(H² + ((2/3)h)²) = √(24² + (10√3/3)²) = 2√(457/3).
Теперь находим апофему А боковой грани.
A = √(H² + ((1/3)h)²) = √(24² + (5√3/3)²) = √(1753/3).
Заданная плоскость, проходящая через точки M и C параллельно прямой SN, пересекает ребро AB в точке K.
При этом линия сечения МК параллельна апофеме А = SN.
Поскольку SK - средняя линия треугольника NSB , то она делит NB пополам, или КВ = (1/4)АВ,
Доказано: AK:KB=3:1.
б) Находим длины сторон треугольника СМК, являющегося сечением пирамиды заданной плоскостью.
CK = √(h² + (a/4)²) = √((5√3)² + (10/4)²) = √75 + (25/4)) = √(325/4) = (5/2)√13.
MK = (1/2)A = (1/2)√(1753/3).
СМ находим как медиану треугольника BSC по теореме косинусов.
CM = √((L/2)² + a² - 2*(L/2)*a*cosB) =
= √((457/3) + 100 - 2*(1/2)√(1753/3)*0,20255) = 14,2244.
Площадь по формуле Герона равна: S = 54,11336 кв.ед.
ответ: S(CMK) = 54,11336 кв.ед.
Pabcd = 24√5
Pabo = 6√5 + 18
∠BCD = ∠BAD ≈ 54°
∠ADC = ∠ABC ≈ 126°
Объяснение:
Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому:
АО = ОС = АС/2 = 24/2 = 12
BO = OD = BD/2 = 12/2 = 6
ΔABO: ∠AOB = 90°, по теореме Пифагора:
АВ = √(АО² + ВО²) = √(12² + 6²) = √(144 + 36) = √180 = 6√5
Pabcd = AB · 4 = 6√5 · 4 = 24√5
Pabo = AB + AO + BO = 6√5 + 12 + 6 = 6√5 + 18
Из прямоугольного треугольника АВО:
sin∠ABO ≈ 0,8944
∠ABO ≈ 63°
Так как диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов, то
∠АВС = 2∠АВО ≈ 126°
Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°, значит
∠BAD = 180° - ∠ABC ≈ 180° - 126° ≈ 54°
Противолежащие углы ромба равны, значит
В условии задачи, очевидно, ошибка, так как в ромбе с указанными диагоналями нет угла в 60°.
Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB равна 10, а высота SH равна 24. Точки M и N - середины рёбер SB и AB.
а) Находим длину L бокового ребра.
Перед этим определяем высоту основания:
h = a√3/2 = 10√3/2 = 5√3.
L = √(H² + ((2/3)h)²) = √(24² + (10√3/3)²) = 2√(457/3).
Теперь находим апофему А боковой грани.
A = √(H² + ((1/3)h)²) = √(24² + (5√3/3)²) = √(1753/3).
Заданная плоскость, проходящая через точки M и C параллельно прямой SN, пересекает ребро AB в точке K.
При этом линия сечения МК параллельна апофеме А = SN.
Поскольку SK - средняя линия треугольника NSB , то она делит NB пополам, или КВ = (1/4)АВ,
Доказано: AK:KB=3:1.
б) Находим длины сторон треугольника СМК, являющегося сечением пирамиды заданной плоскостью.
CK = √(h² + (a/4)²) = √((5√3)² + (10/4)²) = √75 + (25/4)) = √(325/4) = (5/2)√13.
MK = (1/2)A = (1/2)√(1753/3).
СМ находим как медиану треугольника BSC по теореме косинусов.
CM = √((L/2)² + a² - 2*(L/2)*a*cosB) =
= √((457/3) + 100 - 2*(1/2)√(1753/3)*0,20255) = 14,2244.
Площадь по формуле Герона равна: S = 54,11336 кв.ед.
ответ: S(CMK) = 54,11336 кв.ед.
Pabcd = 24√5
Pabo = 6√5 + 18
∠BCD = ∠BAD ≈ 54°
∠ADC = ∠ABC ≈ 126°
Объяснение:
Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому:
АО = ОС = АС/2 = 24/2 = 12
BO = OD = BD/2 = 12/2 = 6
ΔABO: ∠AOB = 90°, по теореме Пифагора:
АВ = √(АО² + ВО²) = √(12² + 6²) = √(144 + 36) = √180 = 6√5
Pabcd = AB · 4 = 6√5 · 4 = 24√5
Pabo = AB + AO + BO = 6√5 + 12 + 6 = 6√5 + 18
Из прямоугольного треугольника АВО:
sin∠ABO ≈ 0,8944
∠ABO ≈ 63°
Так как диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов, то
∠АВС = 2∠АВО ≈ 126°
Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°, значит
∠BAD = 180° - ∠ABC ≈ 180° - 126° ≈ 54°
Противолежащие углы ромба равны, значит
∠BCD = ∠BAD ≈ 54°
∠ADC = ∠ABC ≈ 126°
В условии задачи, очевидно, ошибка, так как в ромбе с указанными диагоналями нет угла в 60°.