в тетраэдере ABCD точки M,N Являются серединами AB, BC ,CD .докажите , что прямая BD параллельная плоскости MNP​

Радиус r окружности, вписанной в основание пирамиды, равен половине стороны квадрата.

O1M = r = 22/2 = 11.

Центр сферы находится на прямой, проходящей через высоту пирамиды (это для правильной пирамиды).

Составит систему уравнений из треугольников, включающих R к стороне основания, и к боковому ребру.

Это соответственно треугольники OKS и OMS.

Обозначим отрезок О1О = х.

Для пирамиды с равными рёбрами угол наклона бокового ребра к основанию равен 45 градусов. Отсюда вывод: треугольник OKS – прямоугольный равнобедренный.  

KS = kO = R = (ОО1 + Н)/√2 = (х + Н)/√2.    

Высота Н =  L*sin 45° = 22*(√2/2) = 11√2.    

Тогда R =  (х + 11√2)/√2.                                                                      (1)                                                          

Из прямоугольного треугольника МОО1 получаем R² = 11² + x².      (2)

Возведём уравнение (1) в квадрат.

{R² = ((ОО1 + Н)/ √2)² = ((х + 11√2)/ √2)² = (х² + 22√2*х + 242)/2.     (3)  

Приравняем правые части уравнений (2) и (3).

(х² + 22√2*х + 242)/2 = 121 + х²,

х² + 22√2*х + 242 = 242 + 2х2.

Приведя подобные, получаем х² - 22√2*х = 0   или х(х - 22√2) =  0.

Имеем 2 корня: х = 0 и х = 22√2.

Второе значение даёт точку касания боковых рёбер на длине, равной радиусу R = 33 от вершины, то есть за пределами пирамиды. Это решение отбрасываем.

ответ: R₁ =  (0 + 11√2)/√2 = 11.

Дано: прямоугольник ABCD, P пр. ABCD = 32 см, AB больше AD на 4 см.

Найти: S пр. ABCD

Решение: S прямоугольника ABCD = AB*AD; P = AB + AD + BC +DC. Пусть, x - меньшая сторона, т. е. AD, тогда x + 4 - большая сторона, т.е. AB, а т.к. в прямоугольнике противоположные стороны равны, а P прямоугольника = 32, то следовательно составим уравнение:

( x + (x + 4))*2=32

2x + 2x + 8 = 32

4x = 32-8

x = 24/4

x = 6

т.к. x - AD, то AD = 6 см., а т.к. x +4 - AB, то AB = 6+4= 10 см.

S прямоугольника ABCD = AB*AD=10*6=60 см.

ответ: 60 см