В треугольнике ABC стороны равны a, b и c, а лежащие напротив них углы равны соответственно α, β и γ. По каким трём элементам можно однозначно построить треугольник циркулем и линейкой?

∆ АВС вписанный, т.к. около него описана окружность. Радиусом этой описанной окружности, где О - центр, являются отрезки ОА и ОС.  

Радиусу этой окружности равен радиус другой окружности, проходящей через точки А, С, О, 

Следовательно, центр М этой второй окружности лежит на первой, отрезок МО – общий  радиус для обеих окружностей. 

МО=АО=МА -- четырехугольник АМСО - ромб, а треугольник МАО – равносторонний.⇒ 

Угол  МАО=60°

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, 180°.

 Ромб - параллелограмм. 

Тупой  угол АОС ромба равен  180°-60°=120° и является центральным для окружности, описанной около ∆ АВС. 

Вписанный угол В опирается на ту же дугу, что центральный АОС и равен его половине. Угол В=60°.

1) АВ⊥ВС (как соседние стороны квадрата - основания куба).
В1В⊥АВ (как соседние стороны квадрата - боковой грани куба).
По теореме о трех перпендикулярах АВ1⊥AD, так как В1А - наклонная, а АВ - проекция этой наклонной на плоскость АВСD, перпендикулярная AD.
По той же теореме и АВ1⊥D1C1, так как АВ1 - наклонная, а ВВ1 - проекция этой наклонной на плоскость ВВ1С1C, перпендикулярная В1С1.
Что и требовалось доказать.

2) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. АС⊥BD.
FC⊥AC, так как FC перпендикулярна плоскости АВСD (дано).
Проведем В1D1 параллельно BD. Тогда АС⊥B1D1, а AF⊥B1D1 по теореме о трех перпендикулярах, так как АС - проекция наклонной AF на плоскость АВСD, а АС⊥B1D1, а значит и BD.
Что и требовалось доказать.