Вариант 1 Вариант 2
1.Найти скалярное произведение векторов а и в, если:
А) |ā|=3, |ē|=2, ˂(ā,ē)=135°; А) |ā|=4, |ē|=3, ˂(ā,ē)=120°;
б) ā(2;3) , ē(-4;2) б) ā(-4;1) , ē(3;1)
2.Найдите ā·ē, если:
Угол между векторами ā и ē равен
120°, 150°
|ā|=5, |ē|=6 |ā|=2, |ē|=3.
3. Найдите косинус угла между векторами:
А) ā(7;24) , ē(7;0) А) ā(0;-4) , ē(20;-15)
б) ā(-2;3) , ē(3;-4) б ) ā(4;-1) , ē(-6;-8)
4. Докажите, что векторы ВА и ВС перпендикулярны, если:
А(0;1) , В(2;1) , С (4;1) А(0;1) , В(2;3) , С (-1;6)
Умоляю очень надо,как можно скорее!
Рассмотрим ΔАВН и ΔMCD:
AB=CD(по опр. равнобедренной трапеции)
∠ВНА=∠CMD=90(по опр. высоты)
∠А=∠D(по св-ву равнобедренной трапеции)
ВН=СМ(так как ВС параллельно AD⇒расстояние между ними всегда одинаковое, а оно измеряется посредством высот)
∠АВН=∠МСD(так как ∠В=∠С(по опр. равноб. трап.), а ∠НВС=∠МСВ=90(как накрест лежащие углы при параллельных прямых ⇒ ∠В - ∠НВС=∠С - ∠МСВ)
⇒ΔАВН = ΔMCD(по двум сторонам и углу между ними)
⇒АН=МD(как соответственные элементы в равных Δ)⇒АН=МD=6
Найдем основания:
AD=30+6=36
ВС=36-(6+6)=24 (Другими словами, мы из АD вычли отрезки MD и АН)
Эта плоскость делит ребро куба АА1 в точке Е. КМ - средняя линия треугольника АDC, следовательно ОР=(1/2)*OD. Тогда ВР=(3/2)*OD. Значит ОР/ВР=1/3.
Итак, треугольник ОРК подобен треугольнику ВРВ1 с коэффициентом подобия 1/3.
Тогда ОК=(1/3)*ВВ1. А поскольку АА1=ВВ1, а ОК=АЕ, имеем отношение АЕ:ЕА1=1:3.
ответ: плоскость, проходящая чрез точки В1 К и М, делит ребро АА1 в отношении 1:3, считая от вершины А.
2) Построим сечение куба плоскостью, проходящей через точки B, E и F.
Этой плоскости также принадлежит и точка К, лежащая на середине прямой EF, принадлежащей плоскости ВEF. Проекция этой точки лежит на пересечении диагоналей основания куба, а расстояние от точки К до плоскости основания равно половине стороны куба. Следовательно, точка К является центром куба и лежит на пересечении диагоналей куба. Через любые две не совпадающие точки можно провести единственную прямую. Значит прямая ВК совпадает с диагональю куба и точка D1, принадлежащая этой диагонали, принадлежит и плоскости BEF. Значит сечение куба BEFD1 является квадратом и имеет четыре стороны.
ответ: число сторон сечения плоскостью, которая определяется точками B, E и F, равно 4.