Определение: "Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость".
Опустим перпендикуляр С1Н на прямую СD1, лежащую в плоскости А1ВС (это плоскость А1ВСD1, так как секущая плоскость пересекает параллельные плоскости АА1В1В и DD1C1C по параллельным прямым А1В и D1C). Отрезок С1Н перпендикулярен любой прямой, проходящей через точку Н, лежащую в данной плоскости (свойство). Значит <C1HB=90° и искомый угол - это угол С1ВН - угол между наклонной ВС1 м ее проекцией ВН на плоскость А1ВС. В прямоугольном треугольнике С1ВН: синус угла С1ВН - это отношение противолежащего катета С1Н к гипотенузе ВС1.
По Пифагору D1C=√(D1C1²+CC1²) = √(36+64) = 10 ед (так как АВ=D1C1, a AA1=CC1, как боковые ребра параллелепипеда.
В прямоугольном треугольнике АКС угол К равен 60° (дано). =>
∠САК = 30°, значит АК - биссектриса угла А.
Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон (свойство). Тогда СК/КВ = АС/АВ.
Но АВ = 2·АС (так как катет АС лежит против угла В, равного 30°). =>
СК/КВ = АС/(2АС) = 1/2. =>
СК = КВ/2 = 12/2 = 6 см.
Или так:
∠АКС = 60° (дано) => ∠САК = 30° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника САК). => ∠ВАК = 30°. =>
Треугольник АКВ равнобедренный, так как ∠В = 30° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника АВС). и ∠ВАК = 30° (доказано выше). =>
АК = ВК = 12 см.
В прямоугольном треугольнике АКС угол КАС = 30°, значит
СК = АК/2 = 12/2 = 6см.
Или так:
Пусть СК = х. => ВС = 12+х.
В прямоугольном треугольнике АВС угол В равен 30° по сумме острых углов.
Tg(∠B) = tg30 = AC/BC = √3/3. =>
AC = √3·(12+х)/3. (1)
В прямоугольном треугольнике АКС угол К равен 60° (дано).
Tg(∠К) = tg60 = AC/CК = √3. =>
AC = х√3. (2).
Приравняем (1) и (2): √3·(12+х)/3 = х√3. => 12+х = 3х. =>
СК = х = 6 см.
Определение: "Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость".
Опустим перпендикуляр С1Н на прямую СD1, лежащую в плоскости А1ВС (это плоскость А1ВСD1, так как секущая плоскость пересекает параллельные плоскости АА1В1В и DD1C1C по параллельным прямым А1В и D1C). Отрезок С1Н перпендикулярен любой прямой, проходящей через точку Н, лежащую в данной плоскости (свойство). Значит <C1HB=90° и искомый угол - это угол С1ВН - угол между наклонной ВС1 м ее проекцией ВН на плоскость А1ВС. В прямоугольном треугольнике С1ВН: синус угла С1ВН - это отношение противолежащего катета С1Н к гипотенузе ВС1.
По Пифагору D1C=√(D1C1²+CC1²) = √(36+64) = 10 ед (так как АВ=D1C1, a AA1=CC1, как боковые ребра параллелепипеда.
Точно так же ВС1=√(ВC²+CC1²) = √(225+64) = 17 ед.
Высота С1Н из прямого угла по ее свойству равна:
С1Н=(С1D1*CC1/D1C = 6*8/10 = 4,8 ед.
Тогда Sinα = C1H/BC1 = 4,8/17 ≈ 0,2823.
α = arcsin0,2823 ≈ 16,4°.