Висота основи правильної трикутної піраміди дорівнює 5 см, а двогранний кут при ребрі основи -- 45°. Знайдіть відстань від вершини основи до протилежноï бічноï гран !

Угол между плоскостями α и β - искомый двугранный угол. Прямая а - ребро двугранного угла.
Проведем АВ⊥α и АС⊥β. АВ = √2, АС = 1
.
В плоскости α проведем ВН⊥а. ВН - проекция наклонной АН на плоскость α, значит АН⊥а по теореме о трех перпендикулярах.
Если АС⊥β, то СН - проекция наклонной АН на плоскость β. Так как наклонная перпендикулярна прямой  а, то и ее проекция будет перпендикулярна прямой а по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.
Итак, СН⊥а, ВН⊥а, значит ∠СНВ - линейный угол двугранного угла - искомый.

ΔАВН: ∠АВН = 90°, sin∠AHB = AB : AH = √2/2, ⇒
           ∠AHB= 45°
ΔAHC: ∠ACH = 90°, sin∠AHC = 1/2, ⇒
           ∠AHC = 30°

∠CHB = ∠AHB + ∠AHC = 45° + 30° = 75°

Ромб диагональю АМ делится на два равносторонних треугольника со стороной 2 см.  
Так как сторона АВ у ромба и треугольника общая, то в равностороннем  треугольнике АВС стороны равны АС=СВ=АВ=2 см.  
Треугольники АВС и АВМ равны. 
 Их высоты также равны и  пересекаются в точке Н.  
Т.к. плоскость треугольника АВС перпендикулярна плоскости ромба,    СН⊥МН, и треугольник СНМ - прямоугольный с равными катетами СН=МН
СН=СВ*sin(60°) 
СН=МН=2(*√3):2=√3  
СМ можно найти по т. Пифагора или по формуле гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника 
с=a√2 
СМ=√3 *(√2)=√6