Вкінці відрізка АВ лежить у перпендикулярах площинах АС і ВС перпендикуляри проведені до лінії цієї площин АС=6см,ВД=3√3 знайдіть довжину відрізку А,якщо кут ДВС=30°
Треугольник с вершинами в серединах сторон состоит из средних линий. Средняя линия соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. Следовательно периметр теругольника, образованного средними линиями (P_m=16) равен половине периметра исходного треугольника. P= 2P_m =16*2 =32
3x+4x+5x=32 <=> 12x=32 <=> x=32/12=8/3
Cтороны равны a=3x=8 b=4x=32/3 c=5x=40/3 (гипотенуза, большая сторона)
Треугольник с соотношением сторон 3:4:5 - прямоугольный (египетский треугольник). S= ab/2 =8*32/3*2 =128/3 ~42,7 (см^2)
Заметим, что если провести из любой вершины высоту, то она будет и биссектрисой и медианой одновременно. Также точка пересечения медиан будет совпадать с точкой пересечения биссектрис и высот (так как в правильном треугольнике медианы биссектрисы и высоты, проведенные из одной вершины совпадают). А медианы делятся в точке пересечения в соотношении 2 к 1, начиная от вершины. Теперь отрезок медианы от точки пресечения медиан до вершины будет радиусом описанной окружности. А отрезок медианы от точки пересечения медиан до основания (стороны, к которой проведен) будет радиусом вписанной окружности. Значит половина длины радиуса описанной окружности равна длине радиуса вписанной окружности. То есть 8:2=4 см.
Средняя линия соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Следовательно периметр теругольника, образованного средними линиями (P_m=16) равен половине периметра исходного треугольника.
P= 2P_m =16*2 =32
3x+4x+5x=32 <=> 12x=32 <=> x=32/12=8/3
Cтороны равны
a=3x=8
b=4x=32/3
c=5x=40/3 (гипотенуза, большая сторона)
Треугольник с соотношением сторон 3:4:5 - прямоугольный (египетский треугольник).
S= ab/2 =8*32/3*2 =128/3 ~42,7 (см^2)
Заметим, что если провести из любой вершины высоту, то она будет и биссектрисой и медианой одновременно. Также точка пересечения медиан будет совпадать с точкой пересечения биссектрис и высот (так как в правильном треугольнике медианы биссектрисы и высоты, проведенные из одной вершины совпадают). А медианы делятся в точке пересечения в соотношении 2 к 1, начиная от вершины. Теперь отрезок медианы от точки пресечения медиан до вершины будет радиусом описанной окружности. А отрезок медианы от точки пересечения медиан до основания (стороны, к которой проведен) будет радиусом вписанной окружности. Значит половина длины радиуса описанной окружности равна длине радиуса вписанной окружности. То есть 8:2=4 см.
ответ: радиус вписанной окружности равен 4 см.