Вопросы по геометрии (номер вопроса соответствует номеру билета)
1. Перпендикулярные прямые и их свойство (с доказательством, стр. 23).
2. Смежные углы и их свойство (с доказательством, стр. 22).
3. Вертикальные углы и их свойство (с доказательством, стр. 22).
4. Равные треугольники (определение, стр. 30-31). Первый признак равенства треугольников (с доказательством, стр. 30).
5. Расстояние от точки до прямой (с доказательством, стр. 32). Расстояние между параллельными прямыми.
6. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника (без доказательства, стр. 33-34).
7. Равнобедренный треугольник. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника (с доказательством, стр. 34-35).
8. Равнобедренный треугольник. Свойство биссектрисы проведенной к основанию равнобедренного треугольника (с доказательством, стр. 35).
9. Равные треугольники. Второй признак равенства треугольников (с доказательством, стр. 37-38).
10. Равные треугольники. Третий признак равенства треугольников (с доказательством, стр. 38-39).
12. Определение параллельных прямых. Признаки параллельности двух прямых (с доказательством любой из признаков, стр. 53-55).
13. Аксиомы геометрии и их следствия (с доказательством одного любого следствия на выбор, стр. 57-60).
14. Теоремы о свойстве параллельных прямых (с доказательством одного любого свойства на выбор, стр. 60-62).
15. Теорема о сумме внутренних углов треугольника (с доказательством, стр. 69-70).
16. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника (с доказательством, стр. 71-72).
17. Внешний угол треугольника и его свойства (с доказательством, стр. 70).
18. Неравенство треугольника (без доказательства, стр. 73).
19. Прямоугольный треугольник и его свойства (с доказательством одного любого свойства по выбору, стр. 75-76).
20. Признаки равенства прямоугольных треугольников (с доказательством одного любого признака по выбору, стр. 76-77).
Применяя указанную формулу для данного восьмиугольника, получаем сумму ∑∠(8) = (8 - 2)×180° = 6×180° = 1080°, откуда следует, что ∠HGF заданного восьмиугольника равен ∠HGF = 1080°÷8 = 135°.
Поскольку ∠HGF вписанный, а для вписанных углов известно, что они равны половине дуги, на которую они опираются, а значит, дуга F_H = 135°×2 = 270°. Тогда дуга, на которую опирается ∠FCH (условно - меньшая) составляет 360°-270°=90°, а вписанный угол ∠FCH, который на эту дугу опирается, равен ∠FCH = 90°÷2 = 45°
Пусть через вершину C проведена прямая, параллельная AB, и A2 - это точка пересечения этой прямой c продолжением прямой AA1;
Сразу видно две пары подобных трегольников
Треугольник APC1 подобен треугольнику A2PC; что означает
CA2/AC1 = CP/PC1;
Треугольник AA1B подобен треугольнику CA1A2, что означает
CA1/A1B = CA2/AB = CA2/(2*AC1) = (1/2)*CP/PC1;
То же самое можно сделать "с другой стороны медианы" (отметить на CA2 точку B2 пересечения с прямой BB1, и рассмотреть аналогичную пару подобных треугольников. Однако можно и это не делать - у вершин A и B можно просто поменять местами обозначения A <=> B)
то есть
CB1/B1A = (1/2)*CP/PC1 = CA1/A1B;
то есть A1B1 II AB по теореме Фалеса (ну, или в силу доказанного подобия треугольников ABC и A1B1C, если хотите).