Втреугольнике abc на сторонах ab и ac выбраны точки c1 и b1, причём ac1=3c1b, cb1=2b1a. прямые b1c1 и bc пересекаются в точке a1. найдите отношение bc: ba1.

на рисунке точка О соединяет точку М(ОМ - перпендикуляр, опущенный на треугольник), соединим точку М с серединами сторон треугольника, эти отрезки будут равны по 5 см. по условию, соединим точку О(центр окружности) с серединами сторон треугольника, катет полученного треугольника (являющийся радиусом) равен корню из (  (Р - 10)(Р - 10)(Р - 12)   )      /   р, где Р - полупериметр треугольника, получается корень из 9 ,это равно 3,следовательно радиус - катет прямоугольного треугольника равен 3. Дальше по теореме Пифагора находим другой катет.  МО = корень из   ( 25 - 9)  = 4. Следовательно расстояние от точки м до плоскости равно 4 см. Площадь круга  = пи * радиус в квадрате отсюда S = 16 * 3.14 = 18.84 = 19см^2.

ответ: 4 см, 19 см^2.

Боковая сторона 13 (5^2 + (24/2)^2 = 169 = 13^2)

Ф - угол при основании, sin(Ф) = 5/13

Радиус описанной окружности R

2*R*sin(Ф) = 13 (теорема синусов); R = 16,9 (какой странный ответ, однако sin(Ф) = h/a = a/(2*R), то есть R = a^2/(2*h)... а - боковая сторона)

Радиус вписанной окружности r находится так - центр её лежит на высоте к основанию в точке пересячения с биссектрисой. r и будет тот кусочек высоты НИЖЕ этой точки. Высота делится биссектрисой в отношении 12/13 (половина основания к боковой стороне), считая от основания, поэтому r = 5*12/(13+12) = 12/5