Если высота проведена из вершины с прямым углом к гипотенузе, то треугольник делится на два меньших треугольника, подобных исходному и подобных друг другу. Из этого много чего следует, в том числе соотношения: h=a*b/c и h²=d*e, где h - высота, a,b и c - катеты и гипотенуза, d и e - отрезки гипотенузы, на которые она делится высотой. Учитывая это, находим катеты по Пифагору: с²=2500 = 16х²+9х², откуда х=10. Итак, катеты равны 40 и 30. Тогда h = 40*30/50 = 24. h² = х*(50-х), откуда х²-50х+576 =0, а х = 25±7 Х1 = 32 Х2 = 18. Это и есть ответ.
АК⊥(АВСД). По условию АВСД-прямоугольник, Его диагонали равны, АС=ВД=√407
ТогдаАК⊥АД, АК⊥АС, АК⊥АВ
треугольники КДА, КВА,КСА-прямоугольные(по теореме о прямой перпендикулярной плоскости!)
По теореме Пифагора
изтр.КВА; AK^2+AB^2=KB^2;
из тр-ка КДА: AK^2+AD^2=KD^2
Складываем равенста: 2AK^2+a^2+b^2=KB^2+KD^2, где АВ=а, АД=в-стороны прямоугольника
ИЗ тр-каАСД: АС^2=AD^2+DC^2; a^2+b^2=(√407)^2; a^2+b^2=407
тогда 2AK^2+407=(12√2)^2 +13^2
2AK^2=288+169-407
2AK^2=50; AK^2=25; AK=5
из тр-ка КСА AK^2+AC^2=KC^2
25+(√407)^2=KC^2
KC=√(432=√(2^4 *3^3)=2^2*3√3=12√3
Учитывая это, находим катеты по Пифагору: с²=2500 = 16х²+9х², откуда х=10.
Итак, катеты равны 40 и 30. Тогда h = 40*30/50 = 24.
h² = х*(50-х), откуда х²-50х+576 =0, а х = 25±7
Х1 = 32
Х2 = 18.
Это и есть ответ.