З точки до площини проведено перпендикуляр і похилу. Довжина перпендикуляра дорівнює 6 см, кут між похилою і перпендикуляром 60°.
Знайти довжину похилої та її проекцію на площину.

   Центры окружностей касательных  прямой m в точках А и В лежат на перпендикулярах к этой прямой проведенных в этих точках.
   Проведем окружности касающиеся друг друга в точке С и прямой в точках А и В.  
   Центры этих окружностей лежат на пересечении перпендикуляров от А и В и серединных перпендикуляров АС и ВС. 
   Проведем касательную прямую СО. Она пересекает прямую АВ в точке О.
   По свойству касательных, проведенных из одной точки ОА=ОС и ОС=ОВ. Значит ОА=ОВ и точка О середина АВ. 
  ОС медиана треугольника АВС.
  Если медиана равна половине стороны к которой проведена, то угол этого треугольника прямой и  треугольник - прямоугольный с гипотенузой равной диаметру окружности описанной вокруг него. 
 Следовательно: множество искомых точек - вершины прямоугольных с общей треугольников гипотенузой АВ описанных окружностью с диаметром АВ.

ответ. Если у пары внутренних накрест лежащих углов один угол заменить вертикальным ему, то получится пара углов, которые называются соответственными углами данных прямых с секущей. Что и требовалось объяснить.
Из равенства внутренних накрест лежащих углов следует равенство соответственных углов, и наоборот. Допустим, у нас есть две параллельные прямые (так как по условию внутренние накрест лежащие углы равны) и секущая, которые образуют углы 1, 2, 3. Углы 1 и 2 равны как внутренние накрест лежащие. А углы 2 и 3 равны как вертикальные. Получаем: ∠∠1 = ∠∠2 и ∠∠2 = ∠∠3. По свойству транзитивности знака равенства следует, что ∠∠1 = ∠∠3. Аналогично доказывается и обратное утверждение.
Отсюда получается признак параллельности прямых по соответственным углам. Именно: прямые параллельны, если соответственные углы равны. Что и требовалось доказать.