Задача 1. Доказать, что если отрезки AD и BC пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые AB и CD
параллельны.
Доказательство. Пусть 0 — точка пересече-
ния отрезков AD и BC (рис. 169). Треугольни-
ки АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу
между ними (ZAOB = ZDOC как вертикальные,
ВО = OC, AO =OD по условию). Из равенства
треугольников следует,
ZBAO = 2CDO.
Так как эти углы
накрест лежащие при прямых AB и
CD и секущей AD, то AB || CD по признаку параллельности
прямых
Площади сечений, параллельных основанию пирамиды, относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.
S/S₁=(H/H₁)²
Т.к. боковое ребро длиной L поделено в соотношении L₁/L₂=2/3, значит L/L₁=5/2=2,5, тогда и расстояние (высота пирамиды) H/H₁=2,5.
Площадь сечения S₁=S/2.5²=50/6.25=8
Если симметрично отобразить треугольник вместе с полуокружностью относительно AC, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник ABB1 с гипотенузой BB1 = 2 и вписанной в него окружностью. Отсюда диаметр этой окружности PC = AB + AB1 - BB1 = 2√2 - 2;
Треугольник PCB - прямоугольный с катетами BC = 1; PC = 2√2 - 2;
Если M - точка пересечения PB и полуокружности, то ∠CMP - прямой, поскольку опирается на диаметр, то есть CM - высота в прямоугольном треугольнике PCB; она делит гипотенузу PB в отношении, равном квадрату отношения катетов, то есть
PM/MB = (PC/BC)^2 = 4(√2 - 1)^2 = 4(3 - 2√2);