Задание 3.

Около четырёхугольника ABCD описана окружность, причём AD – диаметр окружности. Зная, что ∠ABC = 112°, ∠BCD = 128°, найдите:

а) ∠BAD ( );

б) ∠СAD ( );

в) ∠BDA ( ).

Задание 4.

В треугольнике ABC проведена биссектриса AM. ∠ACB = 30°, ∠CBA = 50°, BM = 4 см. Выполните рисунок и найдите:

а) длину биссектрисы AM ( );

б) длину стороны AС ( );

в) радиус окружности, описанной около треугольника ABC ( ).

Решение: Боковые стороны равнобедренного треугольника равны:

AC=BC

По теореме Пифагора

AC=корень(CD^2+(AB\2)^2)

AC=корень(5^2+(12\2)^2)=корень(61) см

ВС=корень(61) см

Полуперитр треугольника АВС равен поллусумме сторон треугольника р=(АВ+ВС+АС)\2

р=(12+корень(61)+корень(61))\2=корень(61)+6 cм

Площадь треугольника равна половине произведения высоты на длину основания

S (ABC) =1\2*CD*AB

S=1\2*12*5=30 см^2

Радиус треугольника равен отношению площади треугольника к его полупериметру

r (ABC)= S\p

r=30\(корень(61)+6)=30\(61-36)*(корень(61)-6)=

=6\5*(корень(61)-6) cм.

ответ:6\5*(корень(61)-6) cм.

Розвязання: Нехай даний трикутник АВС з основою АС і бічними сторонами АВ=ВС

AK, CF - медіани, проведені до бічних сторін

бічні сторони трикутника рівні за означенням рівнобедреного трикутника

АВ=ВС, а отже будуть рівні їі їт половини 1\2ВС=1\2АB, тобто

CK=AF

кути при основі трикутника рівні (властивість рівнобедреного трикутника),

тобто кут А=кут С

Трикутник АСF=CAK за двома сторонами і кутом між ними відповідно

CK=AF, кут А=кут С, АС=СА).

З рівності трикутників випливає рівність медіан СF=AKю Доведено