Угол между плоскостями АВС и АВD равен 60°, при этом DA⊥AB, CB⊥AB и АD = 2, АВ = 4, СВ = 3. Найдите CD.
Проведем ВК║DA и ВК = DA. Тогда ABKD - параллелограмм, и так как DA⊥AB - прямоугольник.
АВ⊥ВК, АВ⊥СВ, значит АВ⊥(СВК) и ∠СВК = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостями треугольников.
Так как отрезок АВ перпендикулярен плоскости СВК, то и плоскость АВС перпендикулярна плоскости СВК, поэтому перпендикуляр СН к плоскости АВС будет лежать в плоскости СВК.
ΔСВН: ∠СНВ = 90°, ∠СВН = 60°, ⇒ ∠ВСН = 30°, тогда
НВ = СВ/2 = 1,5
по теореме Пифагора:
СН = √(СВ² - ВН²) = √(9 - 9/4) = √(27/4) = 3√3/2
DK = AB = 4, КВ = AD = 2 как противоположные стороны прямоугольника,
Угол между плоскостями АВС и АВD равен 60°, при этом DA⊥AB, CB⊥AB и АD = 2, АВ = 4, СВ = 3. Найдите CD.
Проведем ВК║DA и ВК = DA. Тогда ABKD - параллелограмм, и так как DA⊥AB - прямоугольник.
АВ⊥ВК, АВ⊥СВ, значит АВ⊥(СВК) и ∠СВК = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостями треугольников.
Так как отрезок АВ перпендикулярен плоскости СВК, то и плоскость АВС перпендикулярна плоскости СВК, поэтому перпендикуляр СН к плоскости АВС будет лежать в плоскости СВК.
ΔСВН: ∠СНВ = 90°, ∠СВН = 60°, ⇒ ∠ВСН = 30°, тогда
НВ = СВ/2 = 1,5
по теореме Пифагора:
СН = √(СВ² - ВН²) = √(9 - 9/4) = √(27/4) = 3√3/2
DK = AB = 4, КВ = AD = 2 как противоположные стороны прямоугольника,
КН = КВ - ВН = 2 - 1,5 = 0,5
ΔDKH: ∠DKH = 90°, по теореме Пифагора
DH = √(DK² + KH²) = √(16 + 1/4) = √(65/4) = √65/2
ΔCDH: ∠CHD = 90°, по теореме Пифагора
CD = √(CH² + DH²) = √(27/4 + 65/4) = √(96/4) = √23