Запитання 1
Відрізок СD не перетинає площину β, М - його середина. Точка С знаходиться на відстані 10 см від площини β, а точка М - на відстані 6 см від площини β. На якій відстані від площини β знаходиться точка D?
варіанти відповідей
14 см
2 см
1 см
5 см
8 см
Запитання 2
Один з кінців даного відрізка лежить у площині α, а інший знаходиться від площини α на відстані 3 см. На якій відстані від площини α знаходиться середина даного відрізка?
варіанти відповідей
1 см
1,5 см
2 см
2,5 см
неможливо визначити
Запитання 3
ABCDA1B1C1D1 - прямокутний паралелепіпед. АВ = 3 см, AD = 5 см, АА1 = 4 см. Чому дорівнює відстань від точки А1 до прямої В1С1?
варіанти відповідей
3 см
4 см
5 см
6 см
інша відповідь
Запитання 4
АВСDA1B1C1D1 - прямокутний паралелепіпед, АВ = 2 см, АD = 7 см, АА1 = 5 см. Чому дорівнює відстань між прямими АВ і СD?
варіанти відповідей
2 см
3 см
5 см
6 см
7 см
Запитання 5
ABCDA1B1C1D1 - прямокутний паралелепіпед. АВ = 3 см, АD = 4 см, АА1 = 5 см. Чому дорівнює відстань від точки А до площини (BDD1)?
варіанти відповідей
2,4 см
2,5 см
3 см
4 см
5 см
Запитання 6
Якому із запропонованих значень може дорівнювати кут між мимобіжними прямими?
варіанти відповідей
920
1520
00
470
1800
Запитання 7
Похила АК утворює з площиною β кут 600. Знайдіть довжину перпендикуляра, проведеного з точки А до площини β, якщо довжина похилої дорівнює 12 см.
варіанти відповідей
6 см
6√2 см
12 см
9 см
6√3
Запитання 8
Дві площини перетинаються під кутом 300. Точка М лежить в одній площині і віддалена від лінії перетину на 8 см. Знайдіть відстань від точки М до другої площини.
варіанти відповідей
4 см
4√2 см
4√3 см
6 см
8 см
Запитання 9
Трикутник АВС1 є ортогональною проекцією трикутника АВС на плолщину β. Площа трикутника АВС дорівнює 60 см2, а кут між площинами 450. Знайдіть площу трикутника АВС1.
варіанти відповідей
60√3 см2
30√3 см2
60√2 см2
30 см2
30√2 см2
Запитання 10
ABCDA1B1C1D1 - куб. Знайдіть кут між прямими АА1 і В1С1.
варіанти відповідей
00
300
450
600
900
Запитання 11
Через вершину В квадрата АВСD проведено перпендикуляр ВМ до площини квадрата, довжина якого дорівнює 14 см. Відстань від точки М до прямої АС дорівнює 18 см. Знайдіть (у см) довжину сторони квадрата.
варіанти відповідей
16 см
8 см
32 см
22 см
26 см
Запитання 12
Через сторону АВ трикутника АВС проведено площину α, що утворює з площиною трикутника кут 600. Точка С знаходиться на відстані 4√3 см від площини α. Знайдіть площу трикутника АВС (у см2), якщо АВ = 3 см.
варіанти відповідей
12 см2
18 см2
20 см2
24 см2
48 см2
(МН·РН) = 4 ед.
(ОР·РК) = -2 ед.
Объяснение:
В прямоугольнике противоположные стороны равны =>
вектора МН = РК.
∠ РОК = 180° - 120° = 60° ( смежные углы).
В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам =>
Треугольник РОК равносторонний, так как
ОК=ОР и ∠ РОК = 60°). => ОР = ОК = РК = 2 ед.
ОН=ОР = 2 ед. РН = 4 ед.
Скалярное произведение векторов можно записать так:
a·b=|a|·|b|c·сosα.
Определение: "Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором".
Совместим начала векторов ОР и РК в точке О. Тогда угол между векторами ОР и ОК' (вектора ОК и ОК' равны) равен 120°.
Векторное произведение указанных в условии векторов:
(МН·РН) = (РК·РН) = 2·4·Cos60° = 4 ед.
(ОР·РК) = 2·2·Cos120° = -2 ед.