Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Искомое расстояние - длина перпендикуляра ВН, опущенного из В на СD.
AB и CD - хорды, перпендикулярны прямой ОО1, содержащей диаметры окружностей.
AB||CD
Пусть центр меньшей окружности - О, большей - О₁.
Проведем радиусы r и R в точки касания.
Проведем к О₁D отрезок ОК||BD.
Т.к. r ||R, и оба перпендикулярны ВD, то ОКВD- прямоугольник.
ОK=BD
О₁К=R-r=45-36=9
OO₁=R+r=45+36=81
Из ∆ OКО₁ по т.Пифагора
OК=√(81²-9²)=√6480=36√5
∠HBD=∠KOO₁- заключены между взаимно параллельными сторонами.
Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Искомое расстояние - длина перпендикуляра ВН, опущенного из В на СD.
AB и CD - хорды, перпендикулярны прямой ОО1, содержащей диаметры окружностей.
AB||CD
Пусть центр меньшей окружности - О, большей - О₁.
Проведем радиусы r и R в точки касания.
Проведем к О₁D отрезок ОК||BD.
Т.к. r ||R, и оба перпендикулярны ВD, то ОКВD- прямоугольник.
ОK=BD
О₁К=R-r=45-36=9
OO₁=R+r=45+36=81
Из ∆ OКО₁ по т.Пифагора
OК=√(81²-9²)=√6480=36√5
∠HBD=∠KOO₁- заключены между взаимно параллельными сторонами.
∆ OKO₁ ~ ∆ BHD
cos∠KOO₁=OK/OO₁
cos∠HBD=cos∠KOO₁=(36√5):9=(4√5):9
BH=BD•cos∠HBD=(36√5)•(4√5):9=80 (ед. длины)
ответ: 4) 288.
Решение.
Пусть ABC - треугольник, и угол B - ппрямой.
Пусть BК - высота, проведенная из вершины прямого угла B,
BМ - бисектриса, проведенная из угла B, при этом на стороне АС.
BК = 6, ВМ = 8.
точки находятся в таком порядке: A, К, М, C.
Начертите такой треугольник, чтобы было понятнее.
Угол АВМ = угол МВС = 45 гр = pi/4.
Обозначим угол КВМ = alfa.
cos(alfa) = ВК/ВМ = 6/8 = 3/4.
sin(alfa) = V(1 - 9/16) = V((16 - 9)/16) = V(7)/4 (V - корень квдратный) .
В треугольнике АВК угол АВК = угол АВМ - alfa = pi/4 - alfa.
АВ = ВК/cos(pi/4 - alfa) = 6/cos(pi/4 - alfa).
В треугольнике КВС угол КВС = угол МВС + alfa = pi/4 + alfa.
ВС = ВК/cos(pi/4 + alfa) = 6/cos(pi/4 + alfa).
Площадь треугольника АВС:
S = (1/2)*АВ*ВС = (1/2)*6*6/( cos(pi/4 - alfa)*cos(pi/4 + alfa) ) = 18/( cos(pi/4 - alfa)*cos(pi/4 + alfa) ).
cos(pi/4 - alfa) = cos(pi/4)*cos(alfa) + sin(pi/4)*sin(alfa) = (V(2)/2)*(3/4) + (V(2)/2)*(V(7)/4) = (V(2)/2)*(3 + V(7)/4
cos(pi/4 + alfa) = cos(pi/4)*cos(alfa) - sin(pi/4)*sin(alfa) = (V(2)/2)*(3/4) - (V(2)/2)*(V(7)/4) = (V(2)/2)*(3 - V(7)/4
Поэтоиу
S = 18*4*4/( (V(2)/2)*(3 + V(7)* (V(2)/2)*(3 - V(7) ) = 18*16*2/(3^2 - V(7)^2) = 18*16*2/(9 - 7) = 18*16 = 288.
Объяснение: