Докажем, что оставшееся на доске число будет нечётным. Посмотрим, как изменяется сумма всех чисел от производимой операции. Пусть сумма чисел до операции равна S, а операция проводится над числами a и b и a ≥ b. Тогда S' = S - a + (a - b) - b = S - 2b. Так как операции нахождения разности проводились над целыми числами, результат будет целым, значит, 2b - чётное число. Изначально сумма всех чисел была равна 2015 * 1007 (нечётное число), значит, после каждой операции она будет оставаться нечётной, откуда последнее оставшееся число будет нечётным. Так как a ≥ b, и a и b - неотрицательные числа, то их разность тоже будет неотрицательна. Значит, число, оставшееся на доске, не будет больше самого большого из изначальных чисел. Тогда наибольшее число, которое могло остаться на доске, равно 2013.
Пример:
Рассмотрим числа k, k+1, k+2, k+3 и k+4. Сперва проведём операцию над числами k+3 и k+4 (получим 1), потом над 1 и k+2 (получим k+1), затем над k+1 и k+1 (получим 0), и, наконец, над k и 0 (получим k). Таким образом мы убираем 4 подряд стоящих числа. Уберём 2012 чисел от 2 до 2013 включительно. Теперь проведём операцию над числами 1 и 2014, получим 2013.
1 км/ч - скорость течения реки, по условию задачи.
(х+1) км/ч - скорость катера по течению реки, из условия задачи.
(х-1) км/ч - скорость катера против течения реки, из условия задачи.
(х+1) * 8 (км) - расстояние, которое катер проплыл по течению реки за 8 часов, из условия задачи.
(х-1) * 9 (км) - растояние, которое катер проплыл против течения реки за 9 часов, из условия задачи. Такое же расстояние он проплавает за 8 часов по течению реки, по условию задачи.
Тогда:
(х+1) * 8 = (х-1) * 9
8х +8 = 9х -9
8х - 9х = -9 - 8
-х = - 17
х=17 км/ч - скорость катера в стоячей воде.
17+1=18 (км/ч 0 - скороcть катера по течению реки.
18 * 8 = 144 (км) - расстояние, которое катер проплыл по течению реки, за 8 часов, по условию задачи.
Проверка:
17-1=16 (км/ч) - скорость катера против течения реки.
16 * 9 = 144 (км) - расстояние, которое катер проплыл против течения реки за 9 часов.
144 = 144 (км) - расстояние, которое катер проплыл по течению реки такое же, которое он проплывает против течения реки.
Оценка:
Докажем, что оставшееся на доске число будет нечётным. Посмотрим, как изменяется сумма всех чисел от производимой операции. Пусть сумма чисел до операции равна S, а операция проводится над числами a и b и a ≥ b. Тогда S' = S - a + (a - b) - b = S - 2b. Так как операции нахождения разности проводились над целыми числами, результат будет целым, значит, 2b - чётное число. Изначально сумма всех чисел была равна 2015 * 1007 (нечётное число), значит, после каждой операции она будет оставаться нечётной, откуда последнее оставшееся число будет нечётным. Так как a ≥ b, и a и b - неотрицательные числа, то их разность тоже будет неотрицательна. Значит, число, оставшееся на доске, не будет больше самого большого из изначальных чисел. Тогда наибольшее число, которое могло остаться на доске, равно 2013.
Пример:
Рассмотрим числа k, k+1, k+2, k+3 и k+4. Сперва проведём операцию над числами k+3 и k+4 (получим 1), потом над 1 и k+2 (получим k+1), затем над k+1 и k+1 (получим 0), и, наконец, над k и 0 (получим k). Таким образом мы убираем 4 подряд стоящих числа. Уберём 2012 чисел от 2 до 2013 включительно. Теперь проведём операцию над числами 1 и 2014, получим 2013.
ответ: 2013.
х км/ч - скорость катера в стоячей воде.
1 км/ч - скорость течения реки, по условию задачи.
(х+1) км/ч - скорость катера по течению реки, из условия задачи.
(х-1) км/ч - скорость катера против течения реки, из условия задачи.
(х+1) * 8 (км) - расстояние, которое катер проплыл по течению реки за 8 часов, из условия задачи.
(х-1) * 9 (км) - растояние, которое катер проплыл против течения реки за 9 часов, из условия задачи. Такое же расстояние он проплавает за 8 часов по течению реки, по условию задачи.
Тогда:
(х+1) * 8 = (х-1) * 9
8х +8 = 9х -9
8х - 9х = -9 - 8
-х = - 17
х=17 км/ч - скорость катера в стоячей воде.
17+1=18 (км/ч 0 - скороcть катера по течению реки.
18 * 8 = 144 (км) - расстояние, которое катер проплыл по течению реки, за 8 часов, по условию задачи.
Проверка:
17-1=16 (км/ч) - скорость катера против течения реки.
16 * 9 = 144 (км) - расстояние, которое катер проплыл против течения реки за 9 часов.
144 = 144 (км) - расстояние, которое катер проплыл по течению реки такое же, которое он проплывает против течения реки.
ответ: 17 км/ч; 144 км/