1. найти общий член числовой последовательности: 1/3; - 2/9; 1/9; - 4/81...
2. найти приделы числовых последовательностей при n→∞
un= 4n+3/2n-1
3. Используя определение производной, вычислить производную функций:
f(x)=x^3

x + y + z + t = 3.571335

Пошаговое объяснение:

Вычтем превое уравнение из второго. После преобразований получим:

(t - x)(yz + y + z) + t - x = 2

Теперь умножим первое уравнение на t, второе на x и вычтем из первого второе.

Получим после преобразований:

(t - x)(yz + x + y) = t - 3x.

Комбинируя эти два уравнения, найдем

t - 2x =1.

Аналогично, для пар 2-го и 3-его, 3-его и 4-го, 4-го и 1-го уравнений находим:

2x - 3y = 1; 3y - 4z = 1; t - 4z = 3.

Только три из этих уравнений независимы. Чтобы найти решение, выразим

x, y, z через t

x = (t - 1)/2, y = (t - 2)/3, z = (t - 3)/4,

и подставим результат в 4-ое уравнение исходной системы.

После раскрытия скобок получим

t3 + 3t2 + 3t - 47 = 0, или

(t + 1)3 = 48.

Действительный корень этого уравнения один:

t = 481/3 - 1.

Выразим через t сумму x + y + z + t:

x + y + z + t = (25t - 23)/12;

После подстановки найдем приближенно:

x + y + z + t = 3.571335.

9216

Пошаговое объяснение:

Предположим, что существует несократимая дробь, наибольший общий делитель d числителя и знаменателя которой отличен от 1. Но тогда эту дробь можно сократить на d. Получили противоречие, а значит, числитель и знаменатель являются взаимно простыми. Поскольку у правильной дроби числитель меньше знаменателя, то для ответа на вопрос необходимо вычислить количество чисел, взаимно простых с 8! и не превышающих 8! Задача сводится к нахождению функции Эйлера φ от числа 8!

Воспользуемся свойством мультипликативности функции Эйлера:

если a и b  — взаимно простые, то  φ(ab) = φ(a)φ(b)

Замечу, что степени двух различных простых чисел (p_1)^α и (p_2)^β являются еще и взаимно простыми:

(видно, что у (p_1)^α и (p_2)^β нет общих делителей, кроме 1)

Исходя из изложенного, если записать каноническое разложение 8! на простые множители:

8! = 8×7×6×5×4×3×2×1 = 2³×7×2×3×5×2²×3×2 = 2^7 × 3² × 5 × 7,

то станет целесообразно упростить решение: φ(8!) = φ(2^7)φ(3²)φ(5)φ(7)

А теперь приведу формулу для вычисления φ(p^α) (p — простое):

φ(p^α) = p^α - p^(α-1)

Если же α = 1, то:

φ(p) = p-1

Имеем:

φ(8!) = φ(2^7 × 3² × 5 × 7) = φ(2^7)φ(3²)φ(5)φ(7) = (2^7 - 2^6)(3² - 3)(5-1)(7-1) = 2^6(2-1) × 3(3-1) × 4 × 6 = 64×3×2×4×6 = 9216,

что и есть ответ на вопрос задачи.