Покажем, что в результате не мог получиться 0. Для этого докажем, что в результате на доске останется нечетное число.
Заметим, что четность количества нечетных чисел, которые записаны на доске, не изменяется. Действительно, если мы заменяем четное и нечетное числа, то в результате будет на доске записано нечетное число (т.к. разность четного и нечетного числа — нечетна). Т.е. количество нечетных чисел не изменяется. Если же заменяем числа одной четности, то в результате на доске будет записано четное число (т.к. разность четного и четного — четно, а также разность нечетного и нечетного — четно). Т.е. количество нечетных чисел либо не изменится, либо уменьшится на 2.
Изначально число нечетных чисел равно 2013+12=1007, т.е. нечетно, а значит и в конце оно будет нечетно.
Стратегия. Докажем, что мы можем получить число 1. Для этого покажем, что если мы возьмем четыре последовательных числа (a, a+1, a+2, a+3), то мы можем из них сделать 0.
Первая операция: |(a+1)−a|=1. Вторая операция: |(a+3)−(a+2)|=1. Третья операция: 1−1=0.
Теперь мы разобьем числа на четверки и сделаем из каждой четверки 0 (1 мы отложим): {2,3,4,5}, …, {2010,2011,2012,2013}. После этого из полученных 0 с нашей операции мы получим один 0.
После этого найдем модуль разности 1 и 0 и получим 1.
ответ: 1.
Покажем, что в результате не мог получиться 0. Для этого докажем, что в результате на доске останется нечетное число.
Заметим, что четность количества нечетных чисел, которые записаны на доске, не изменяется. Действительно, если мы заменяем четное и нечетное числа, то в результате будет на доске записано нечетное число (т.к. разность четного и нечетного числа — нечетна). Т.е. количество нечетных чисел не изменяется. Если же заменяем числа одной четности, то в результате на доске будет записано четное число (т.к. разность четного и четного — четно, а также разность нечетного и нечетного — четно). Т.е. количество нечетных чисел либо не изменится, либо уменьшится на 2.
Изначально число нечетных чисел равно 2013+12=1007, т.е. нечетно, а значит и в конце оно будет нечетно.
Стратегия. Докажем, что мы можем получить число 1. Для этого покажем, что если мы возьмем четыре последовательных числа (a, a+1, a+2, a+3), то мы можем из них сделать 0.
Первая операция: |(a+1)−a|=1. Вторая операция: |(a+3)−(a+2)|=1. Третья операция: 1−1=0.
Теперь мы разобьем числа на четверки и сделаем из каждой четверки 0 (1 мы отложим): {2,3,4,5}, …, {2010,2011,2012,2013}. После этого из полученных 0 с нашей операции мы получим один 0.
После этого найдем модуль разности 1 и 0 и получим 1.
1.
а) 7 7/9 - 4 1/12 = 70/9 - 49/12 = 280/36 - 147/36 = 133/36 = 3 25/133
б) 4 2/3 + 5 3/4 = 14/3 + 23/4 = 56/12 + 69/12 = 125/12 = 10 5/12
в) 5 1/5 - 1 2/3 = 26/5 - 5/3 = 78/15 - 25/15 = 53/15 = 3 8/15
г) 12 - 3 3/7 = 84/7 - 24/7 = 60/7
д) 4,75 - 1 1/8 = 4,75 - 1,125 = 3,625
е) 0,7 + 2 7/15 = 7/10 + 37/15 = 21/30 + 74/30 = 95/30 = 19/6
2.
3/4 = 18/24
7/8 = 21/24
5/6 = 20/24
7/12 = 14/24
11/24 = 11/24
1/2 = 12/24
2/3 = 16/24
11/24 < 12/24 < 14/24 < 16/24 <18/24 < 20/24 < 21/24
Значит, 11/24 < 1/2 < 7/12 < 2/3 < 3/4 < 5/6 < 7/8.
ответ: 11/24, 1/2, 7/12, 2/3, 3/4, 5/6, 7/8.
3.
1) (118 7/12 + 4 5/9) - 18 7/12 = 118 7/12 - 18 7/12 + 4 5/9 = 100 + 4 5/9 = 104 5/9
2) 132 8/15 - (2 8/15 + 4 3/7) = 132 8/15 - 2 8/15 - 4 3/7 = 130 - 4 3/7 = 125 4/7
3) (146 5/17 + 8 5/19) - 26 5/17 = 146 5/17 - 26 5/17 + 8 5/19 = 120 + 8 5/19 = 128 5/19
4) 158 8/21 - (26 8/21 + 30 7/11) = 158 8/21 - 26 8/21 - 30 7/11 = 132 - 30 7/11 = 101 4/11
Слава УСРАИНЕ!