№261(3) , учебник Ю.М. Колягин , Алгебра-10 класс. Найти остаток от деления ( 2¹⁹⁹⁵ +5*10³ ) на 3
МАКСИМАЛЬНО ПОДРОБНО, используя теорию только данного учебника.

1

Пошаговое объяснение:

5≡-1(mod3)

10≡1(mod3)⇒10³≡1³≡1(mod3)

5·10³≡-1·1≡-1(mod3)

2≡-1(mod3)⇒2¹⁹⁹⁵≡(-1)¹⁹⁹⁵(mod3)⇒-1(mod3)

2¹⁹⁹⁵ +5·10³ ≡-1+(-1)≡-2≡1(mod3)

. Можно использовать бином Ньютона или разложение выражений вида aⁿ+bⁿ где степень нечётное число или aⁿ-bⁿ где степень произвольное натуральное.

2¹⁹⁹⁵+1=(2+1)(2¹⁹⁹⁴-2¹⁹⁹³+2¹⁹⁹²-...+2²-2+1)=3*(2¹⁹⁹⁴-2¹⁹⁹³+2¹⁹⁹²-...+2²-2+1). Значит это число кратно трём. Пусть 2¹⁹⁹⁵+1=3A

5*10³-5=5*(10³-1)=5(10-1)(10²+10+1)=45(10²+10+1)

Значит и это число кратно трём. Пусть 5*10³-5=3B

2¹⁹⁹⁵ +5*10³=(2¹⁹⁹⁵+1)+(5*10³-5)+4=3A+3B+4=3(A+B+1)+1

Значит  остаток 1