Дана система линейных неоднородных уравнений
x1 −2x −4x3 +x4 =−2
−3x1 +7x2 +x3 −2x4 =−1
−x1 +3x2 −7x3 =−5
5x1 −11x2 −9x3 +4x4=−3
выясните, является ли эта система совместной неопределенной. если эта система несовместна или совместна, но определенна, то в ответ введите цифру 0 и переходите к следующей .
если система совместна неопределенна, то найдите общее решение системы в виде
x1=ax3+bx4+c;
x2=dx3+ex4+f,
предварительно убедившись, что неизвестные x3 и x4 можно принять в качестве свободных.
в ответ введите числа c,d,e, разделив их точкой с запятой.
Пошаговое объяснение:
ДАНО: y = (x+5)² - 1.
Вариант - графическое решение.
Вспоминаем график y = x² и переносим его вершину на -5 по оси ОХ и на -1 по оси ОУ и это будет точка А(-5;1).
Сразу виден экстремум - минимум - Ymin(-5) = -1 - ответ.
Убывает - X∈(-∞;-5], возрастает - Х∈[-5;+∞) - ответ.
Вариант - аналитическое решение.
y = (x+5)² - 1 = x² + 10*x + 25 - 1 = x² + 10*x + 24 - уравнение .
Находим нули функции - точки пересечения с осью ОХ.
D = 4 - дискриминант.
х1 = -6 и х2 = 4 - нули функции пересечение с осью ОХ.
Экстремум там где корень первой производной.
y'(x) = 2*x + 10 = 0
x = -5 - точка экстремума - ответ.
ymin(-5) = -1 - минимальное значение - ответ
Нужно найти собственные числа и собственные вектора этой матрицы. Собственные числа находим из уравнения det(A - λE) = 0:
Прибавим к первой строке все остальные строки, после вынесения общего множителя обнулим первый столбик во всех строках, кроме первой:
Раскладываем определитель по первому столбцу. Опустим пока множитель (1 - λ), сложим прибавим к третьей строчке вторую, вынесем общий множитель и обнулим третий столбец везде, кроме последней строки:
Раскладываем определитель по третьему столбцу, после отбрасывания множителей остается определитель матрицы 2x2, который равен
Итак,
Находим собственные векторы:
1) с.ч. = 1
Сумма всех строк равна 0, выкинем последнюю. Приведем матрицу к красивому виду (насколько сможем):
Из полученного вида матрицы получаем, что уравнению удовлетворяют все вектора вида (a, a, a, a); с.в. (1, 1, 1, 1)
2) c.ч. = -1
с.в. (1, 1, -1, -1)
3) с.ч. = -3
с.в. (1, -1, -1, 1)
4) с.ч. = 7
c.в. (1, -1, 1, -1)
Собственные вектора уже ортогональны, но еще не отнормированы. Длина каждого равна 1/2, так что окончательно получаем, что под действием замены
(по столбцам записаны собственные векторы) квадратичная форма примет вид