Сначала следует определиться с тем, от чего мы будем отталкиваться при записи натуральных чисел.
Давайте запомним изображения следующих знаков (покажем их через запятую): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Приведенные изображения представляют собой запись так называемых цифр. Давайте сразу договоримся не переворачивать, не наклонять и иным образом не искажать цифры при записи.
Теперь условимся, что в записи любого натурального числа могут присутствовать только лишь указанные цифры и не могут присутствовать никакие другие символы. Также условимся, что цифры в записи натурального числа имеют одинаковую высоту, располагаются в строчку друг за другом (с почти отсутствующими отступами) и слева находится цифра, отличная от цифры 0.
Приведем несколько примеров правильной записи натуральных чисел: 604, 777 277, 81, 4 444, 1 001 902 203, 5, 900 000 (обратите внимание: отступы между цифрами не всегда одинаковы, подробнее об этом будет сказано при рассмотрении классов натуральных чисел). Из приведенных примеров видно, что в записи натурального числа не обязательно присутствуют все из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; некоторые или все цифры, участвующие в записи натурального числа, могут повторяться.
Записи 014, 0005, 0, 0209 не являются записями натуральных чисел, так как слева находится цифра 0.
Запись натурального числа, выполненная с учетом всех требований, описанных в этом пункте, называется десятичной записью натурального числа.
Дальше мы не будем разграничивать натуральные числа и их запись. Поясним это: дальше в тексте будут использоваться фразы типа «дано натуральное число 582», которые будут означать, что дано натуральное число, запись которого имеет вид 582.
P(x;y)dx+Q(x;y)dy
является полным дифференциалом, если
∂P/∂y=∂Q/∂x.
∂P/∂y=((x+y)/(xy))`y=((x+y)`y·(xy)–(xy)`y·(x+y))/(xy)2= –x2/(xy)2= – 1/y2
∂Q/∂x=(1/y2)·(y–x)`x=(1/y2)·(–1)=–1/y2
∂P/∂y=∂Q/∂x
Данное уравнение – уравнение в полных дифференциалах
Это значит
∂U/∂x=P(x;y)
∂U/∂y=Q(x;y)
Зная, частные производные можем найти U(x;y)
U(x;y)= ∫ (∂U/∂x)dx= ∫ P(x;y)dx= ∫ (x+y)dx/(xy)=
=(1/y) ∫ (x+y)dx/x=(1/y) ∫ (1+(y/x))dx=(1/y)·x+(1/y)·yln|x|+ φ (y)=
=(x/y)+ln|x|+ φ(y)
Находим
∂U/∂y= ((x/y)+ln|x|+ φ(y))`y=x·(1/y)`+0+ φ `(y)= (–x/y2)+φ `(y)
Так как
∂U/∂y=Q(x;y)
то
(–x/y2)+φ `(y) =(y–x)/y2;
⇒
φ `(y)=1/y
φ(y)=ln|y|+C
U(x;y)=(x/y)+ln|x|+ φ(y)=(x/y)+ln|x|+ln|y|+C
О т в е т.U(x;y)=(x/y)+ln|x·y|+C
Сначала следует определиться с тем, от чего мы будем отталкиваться при записи натуральных чисел.
Давайте запомним изображения следующих знаков (покажем их через запятую): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Приведенные изображения представляют собой запись так называемых цифр. Давайте сразу договоримся не переворачивать, не наклонять и иным образом не искажать цифры при записи.
Теперь условимся, что в записи любого натурального числа могут присутствовать только лишь указанные цифры и не могут присутствовать никакие другие символы. Также условимся, что цифры в записи натурального числа имеют одинаковую высоту, располагаются в строчку друг за другом (с почти отсутствующими отступами) и слева находится цифра, отличная от цифры 0.
Приведем несколько примеров правильной записи натуральных чисел: 604, 777 277, 81, 4 444, 1 001 902 203, 5, 900 000 (обратите внимание: отступы между цифрами не всегда одинаковы, подробнее об этом будет сказано при рассмотрении классов натуральных чисел). Из приведенных примеров видно, что в записи натурального числа не обязательно присутствуют все из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; некоторые или все цифры, участвующие в записи натурального числа, могут повторяться.
Записи 014, 0005, 0, 0209 не являются записями натуральных чисел, так как слева находится цифра 0.
Запись натурального числа, выполненная с учетом всех требований, описанных в этом пункте, называется десятичной записью натурального числа.
Дальше мы не будем разграничивать натуральные числа и их запись. Поясним это: дальше в тексте будут использоваться фразы типа «дано натуральное число 582», которые будут означать, что дано натуральное число, запись которого имеет вид 582.