Исследовать на экстремум функцию z=xy(12-x-y)

z(x, y) = xy(12 – x – y) = 12xy – x2y – xy2,  

∂z/∂x = 12y – 2xy – y2 = y(12 – 2x – y),  

∂z/∂y = 12x – x2 – 2xy = x(12 – x – 2y),

∂z/∂x = y(12 – 2x – y) = 0, ∂z/∂y = x(12 – x – 2y) = 0 при x1 = 0, y1 = 0, x2 = 4, y2 = 4,

то M1(0; 0), M2(4; 4) – стационарные точки. В этих точках dz = 0, и выполняются необходимые условия экстремума.

Поскольку

∂2z/∂x2 = -2y,

∂2z/∂y2 = -2x,

∂2z/(∂x∂y) = 12 – 2x – 2y,

и в точке M1(0; 0)

A = ∂2z(0; 0)/∂x2 = -2 ∙ 0 = 0,

B = ∂2z(0; 0)/(∂x∂y) = 12 – 2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 = 12,

C = ∂2z(0; 0)/∂y2 = -2 ∙ 0 = 0,

∆ = AC – B2 = 0 – (12)2 = -144 < 0, то точка M1 не является точкой экстремума.

Поскольку

в точке M2(4; 4)

A = ∂2z(4; 4)/∂x2 = -2 ∙ 4 = -8 < 0,

B = ∂2z(4; 4)/(∂x∂y) = 12 – 2 ∙ 4 – 2 ∙ 4 = -4,

C = ∂2z(4; 4)/∂y2 = -2 ∙ 4 = -8 < 0,

∆ = AC – B2 = (-8) ∙ (-8) – (-4)2 = 64 – 16 = 48 > 0, то точка M2 является точкой локального максимума. Значение функции в этой точке равно

z(4; 4) = 4 ∙ 4 ∙ (12 – 4 – 4) = 16 ∙ 4 = 64.