Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти общее решение дифференциального уравнения: 2x^2y'=x^2+y^2; yy'=2y-x

Показать ответ

Ответ:

azamaaaaa

07.10.2020 10:16

Линейное однородное дифференциальное уравнение
$2x^2y'=x^2+y^2\\y=tx;y'=t'x+t\\2x^2(t'x+t)=x^2+t^2x^2|:x^2\\2\frac{dt}{dx}x+2t=1+t^2\\\frac{2xdt}{dx}=t^2-2t+1|*\frac{dx}{x(t^2-2t+1)}\\\frac{dx}{x}=\frac{2dt}{t^2-2t+1}\\\int\frac{dx}{x}=2\int\frac{d(t-1)}{(t-1)^2}\\ln|x|=-\frac{2}{t-1}+C\\ln|x|+\frac{2}{\frac{y}{x}-1}=C\\ln|x|+\frac{2x}{y-x}=C$
В результате деления на t^2-2t+1 мы теряем возможное решение: x=y, проверяем:
$y=x\\y'=1\\2x^2y'=x^2+y^2\\2x^2=x^2+x^2\\2x^2=2x^2$
y=x является решением дифференциального уравнения.
Окончательный ответ:
$ln|x|+\frac{2x}{y-x}=C;y=x$
----------
Линейное однородное дифференциальное уравнение
$yy'=2y-x\\y=tx;y'=t'x+t\\tx(t'x+t)=2tx-x|:x\\t(t'x+t)=2t-1\\t'x+t=2-\frac{1}{t}\\\frac{xdt}{dx}=\frac{2t-1-t^2}{t}\\\frac{dx}{x}=-\frac{1}{t-1}-\frac{1}{(t-1)^2}\\\int\frac{dx}{x}=-\int\frac{d(t-1)}{t-1}-\int\frac{d(t-1)}{(t-1)^2}\\ln|x|=-ln|t-1|+\frac{1}{t-1}+C\\ln|y-x|-\frac{x}{y-x}=C$
В результате деления на t мы теряем возможное решение: y=0, проверяем:
$y=0\\y'=0\\0\neq0-x\\0\neq x$
Нет, y=0 не является решением дифференциального уравнения.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Eragggqqq

12.08.2022 09:33

Дана матрица распределения системы (X,Y) дискретных случайных величин X и Y: Найдите M[X/Y=-3.8]...

pravikvdushe

24.03.2021 10:19

Дано: АВ- перпендикуляр, AC, AD -наклонные, AC=AD-DC= 12...

burmistrowkiri

11.04.2020 04:52

накреслити координатну пряму з одиничним відрізком 1 см (2 клітинки) і позначити на ній: а) ° точки: A(2); B(-3;5); C(-1); D(-2); E(1 1/2); F(3)....

гога61

04.01.2020 16:59

Проект я и моя семья в числах. ...

артур614

04.01.2020 16:59

6*11+6 8*8-4*7 7+3*99*11-97...

Sasha200420071982197

02.03.2023 09:43

602. 1) 8; +12 пондық бөлшек түрінде жазыңдар.11602. 1) 8 +122) 105641011533) 11 + 88 1254) 21 19.16амалын орындап, нәтижесін125ондық бөлшек түрінде жазыңдар.2) 10 - 64) 21...

Kakation

21.04.2020 21:25

Система непрерывных случайных величин (X,Y) задана плотностью распределения: Найдите константу А и M[Y]. В ответ введите значение M[Y], округлив до трех знаков после точки....

Ботакан17

14.05.2023 22:26

Даны координаты пирамиды а1 а2 а3 а4 а1 =(1,3,0). а2=(5,-6,0). а3 =(-1,3,-3). а4=(-10,-8,7) найти: 1) длину а1а2 2) угол между а1а2 и а1а4 3) угол между а1а4 и гранью а1а2а3 4)...

миша29112000

14.05.2023 22:26

Отрезали 18 ломтиков хлеба для бутербродов для каждого бутерброды берут два ломтика хватит ли нарезанного хлеба для приготовления 10 бутербродов реши ее одним сбособом...

s1072966

14.05.2023 22:26

Мама купила сыну костюм за 2400тг, израсходовав одну третью часть своих денег. сколько денег было у мамы? нужно условие...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку