1) Докажем, что квадрат натурального числа не может дать в остатке 2 при делении на 3
а≡0(mod 3)⇒a²≡0(mod 3)
а≡(±1)(mod 3)⇒a²≡(±1)²≡1(mod 3)
x²+y²-z²=0≡0(mod3) значит по крайней мере одно из чисел x, y, z должно делится на три. Из чего следует делимость на три числа xyz
2) Пусть xyz не делится на 5. Тогда ни одно из чисел x, y, z не делится на 5
а≡0(mod 5)⇒a²≡0(mod 5)
а≡(±1)(mod 5)⇒a²≡(±1)²≡1(mod 5)
а≡(±2)(mod 5)⇒a²≡(±2)²≡4≡-1(mod 5)
Значит, если ни одно из чисел x, y, z не делится на 5, то должно выполнится равенство
x²+y²-z²≡±1±1±1≡0(mod 5)
А это не возможно.
3) Если среди чисел x, y, z по крайней мере два четных, или есть одно делящееся на 4 тогда xyz делится на 4. Пусть их будет не более одного и это чётное число не делится на 4.
То что в равенстве x²+y²=z² все три числа x, y, z не могут быть нечетными очевидно.
Остается рассмотреть случай того что среди чисел x, y, z одно четное не делящееся на 4
а) x, y- нечётные, z-чётное
x=2n+1, y=2k+1, z=2m
x²+y²=(2n+1)²+(2k+1)²=4(n²+n+k²+k)+2≡2(mod4)
z²=(2m)²=4m²≡0(mod4)
Равенство не возможно.
б) одно из чисел x, y не чётные, другое нечётное, z-нечётное
(2n+1)²+(2m)²=(2k+1)², m-не делится на 2
m²=k²+k-n²-n=(k-n)(k-n+1)
Но числа (k-n) и (k-n+1) разной чётности. Значит одно из них чётно.
Было в корзине 12 яблок; Переложили в тарелку ---3 яблока; Стало в тарелке?, но на 5 меньше, чем в корзине; Было в тарелке ? Решение.
А р и ф м е т и ч е с к и й 1). 12 - 3 = 9 (яблок) стало в корзине. 2). 9 - 5 = 4 (яблока) стало на тарелке. 3). 4 - 3 = 1 (яблоко) было на тарелке. Проверка. (12-3) - (1+3) = 5; 5=5 ответ: на тарелке было одно яблоко.
А л г е б р а и ч е с к и й Примем за Х количество яблок, которое было на тарелке. тогда там стало (Х+3) яблок, а в корзине осталось (12-3)яблок. Так как по условию в корзине осталось на 5 яблок больше, чем стало на тарелке, составим и решим уравнение: (12 - 3) - (Х + 3) = 5; 12 -3 -3 -5 = Х: 1 = Х; Х = 1 яблоко ответ: на тарелке было 1 яблоко.
Пошаговое объяснение:
1) Докажем, что квадрат натурального числа не может дать в остатке 2 при делении на 3
а≡0(mod 3)⇒a²≡0(mod 3)
а≡(±1)(mod 3)⇒a²≡(±1)²≡1(mod 3)
x²+y²-z²=0≡0(mod3) значит по крайней мере одно из чисел x, y, z должно делится на три. Из чего следует делимость на три числа xyz
2) Пусть xyz не делится на 5. Тогда ни одно из чисел x, y, z не делится на 5
а≡0(mod 5)⇒a²≡0(mod 5)
а≡(±1)(mod 5)⇒a²≡(±1)²≡1(mod 5)
а≡(±2)(mod 5)⇒a²≡(±2)²≡4≡-1(mod 5)
Значит, если ни одно из чисел x, y, z не делится на 5, то должно выполнится равенство
x²+y²-z²≡±1±1±1≡0(mod 5)
А это не возможно.
3) Если среди чисел x, y, z по крайней мере два четных, или есть одно делящееся на 4 тогда xyz делится на 4. Пусть их будет не более одного и это чётное число не делится на 4.
То что в равенстве x²+y²=z² все три числа x, y, z не могут быть нечетными очевидно.
Остается рассмотреть случай того что среди чисел x, y, z одно четное не делящееся на 4
а) x, y- нечётные, z-чётное
x=2n+1, y=2k+1, z=2m
x²+y²=(2n+1)²+(2k+1)²=4(n²+n+k²+k)+2≡2(mod4)
z²=(2m)²=4m²≡0(mod4)
Равенство не возможно.
б) одно из чисел x, y не чётные, другое нечётное, z-нечётное
(2n+1)²+(2m)²=(2k+1)², m-не делится на 2
m²=k²+k-n²-n=(k-n)(k-n+1)
Но числа (k-n) и (k-n+1) разной чётности. Значит одно из них чётно.
Тогда и число m² чётно⇒m-чётное.
Получили противоречие.
Значит делится на 4
Ч.т.д.
Переложили в тарелку ---3 яблока;
Стало в тарелке?, но на 5 меньше, чем в корзине;
Было в тарелке ?
Решение.
А р и ф м е т и ч е с к и й
1). 12 - 3 = 9 (яблок) стало в корзине.
2). 9 - 5 = 4 (яблока) стало на тарелке.
3). 4 - 3 = 1 (яблоко) было на тарелке.
Проверка. (12-3) - (1+3) = 5; 5=5
ответ: на тарелке было одно яблоко.
А л г е б р а и ч е с к и й
Примем за Х количество яблок, которое было на тарелке.
тогда там стало (Х+3) яблок, а в корзине осталось (12-3)яблок. Так как по условию в корзине осталось на 5 яблок больше, чем стало на тарелке, составим и решим уравнение:
(12 - 3) - (Х + 3) = 5; 12 -3 -3 -5 = Х: 1 = Х; Х = 1 яблоко
ответ: на тарелке было 1 яблоко.