1. Уравнение вида равносильно системе
2. Решим уравнение
2.1. Поскольку то
2.2. Используя свойство степеней имеем:
2.3. Сделаем замену: Тогда:
2.4. Преобразуем уравнение:
2.5. По теореме, обратной теореме Виета, имеем:
2.6. Делаем обратную замену:
2.7. Первое уравнение не имеет корней, поскольку правая часть не может быть отрицательной. Решим уравнение
3. Определим ограничения:
3.1. Ограничение для данного уравнения соответствует неравенству:
3.2. Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые:
3.3. Умножим обе части неравенства на
3.4. Решением данного неравенства является промежуток
4. Отберем корни уравнения, принадлежащие промежутку
Пусть тогда
5. Решением данного уравнения является
6. В ответ следует записать сумму корней (или корень, если он единственный), деленную на
ответ:
1. Уравнение вида
равносильно системе ![\displaystyle \left \{ {{f(x) = 0, \ \,} \atop g(x) \neq 0 \colon}} \right.](/tpl/images/2009/6510/87cb8.png)
2. Решим уравнение![5^{1 +\sin^{2} x} - 5^{\cos^{2}x} - 24 = 0.](/tpl/images/2009/6510/488f7.png)
2.1. Поскольку
то
2.2. Используя свойство степеней
имеем:
2.3. Сделаем замену:
Тогда:
2.4. Преобразуем уравнение:
2.5. По теореме, обратной теореме Виета, имеем:
2.6. Делаем обратную замену:
2.7. Первое уравнение не имеет корней, поскольку правая часть не может быть отрицательной. Решим уравнение![5^{\cos^{2}x} = 1 \colon](/tpl/images/2009/6510/f8c09.png)
3. Определим ограничения:![\sqrt{1 - (x^{2} + 3x + 3)} \neq 0.](/tpl/images/2009/6510/a2dca.png)
3.1. Ограничение для данного уравнения соответствует неравенству:
3.2. Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые:
3.3. Умножим обе части неравенства на![(-1)\colon](/tpl/images/2009/6510/f0bc0.png)
3.4. Решением данного неравенства является промежуток![(-2; ~ {-}1).](/tpl/images/2009/6510/89307.png)
4. Отберем корни уравнения, принадлежащие промежутку![(-2; ~ {-}1).](/tpl/images/2009/6510/89307.png)
Пусть
тогда ![x = \dfrac{\pi}{2} \notin (-2; ~ {-}1)](/tpl/images/2009/6510/0eedf.png)
Пусть
тогда ![x = \dfrac{\pi}{2} - \pi = -\dfrac{\pi}{2} \in (-2; ~ {-1}).](/tpl/images/2009/6510/95d81.png)
Пусть
тогда ![x = \dfrac{\pi}{2} - 2\pi = -\dfrac{3\pi}{2} \notin (-2; ~ {-1}).](/tpl/images/2009/6510/28533.png)
5. Решением данного уравнения является![x = -\dfrac{\pi}{2}.](/tpl/images/2009/6510/aa066.png)
6. В ответ следует записать сумму корней (или корень, если он единственный), деленную на![\pi.](/tpl/images/2009/6510/7d2ca.png)
ответ:![-0,5.](/tpl/images/2009/6510/ebfad.png)