Решите задачу. Дополните решение.

Окружности с центрами в точках О и O1 пересекаются в точках M и N. Докажите, что секущая MN пересекает отрезок, соединяющий центры окружностей под прямым углом.

Доказательство:
Достроим ∆MON и ∆MO 1 N. Для этого проведем соединяющие центры с точками окружностей.
Рассмотрим ∆OMO 1 и ∆ONO 1. Они по признаку равенства треугольников, так как OM = (как радиусы окружностей), а ON = (как радиусы), сторона OO 1 у них общая.
Из равенства ∆OMO 1 и следует, что и ∆MON 1 – . Поэтому ∠MOR = , а ∠MO 1 R = . Значит OR и O 1 R – угла ∠MON и соответственно.
Мы знаем, что в треугольнике угла при вершине является , следовательно, ⊥ MN и ⊥ MN.
По теореме о перпендикуляра, проведенного ,
, MN ⊥ OO 1.
Что и требовалось доказать.

В пропуски вставить:
∆ONO1
O1R
∠MO1N
из любой точки
высотой
медиана
углы
равнобедренные
∠NO1R
высота
единственности
биссектриса
OR
не лежащей
на прямой
биссектрисы
окружностей
∆MON
ON1
третьему
равносторонние
пересечения
равнобедренном
первому
второму
отрезки
OM1
∠NOR
равны

Die Moskau ist die Hauptstadt unseres Landes. Mit zwoelf Millionen Einwohnern ist Moskau die groesste Stadt Russlands. Elfhundertsiebenund vierzig wurde diese Stadt gegruendet. Im fuenfzehnten Jahrhundert wurde Moskau zur Hauptstadt des russischen Reichen. Moskau befindet sich auf beiden Ufern des Flusses Moskaus. Heute ist Moskau ein politisches, wirtschaftliches, wissenschaftliches und kulturelles Zentrum des Landes. In Moskau befinden sich die Akademie der Wissenschaften, einige Universitaeten, zahlreiche Forschungsinstitute, Hochschulen. In Moskau gibt es viele Theater, Museen, Bibliotheken. Viele Touristen besuchen Roten Platz - das Herz unserer Heimat und den Kreml mit seinen herrlichen Palaesten, Kathedralen, Tuermen und der beruehmten Kremlmauer. Heute waechst Moskau und blueht.

Помпон-краб Lybia tesselata - здесь он готов к любому, даже неравному бою. Автор фото: friscodiveСовершенно удивителен симбиоз с актиниями крабиков Lybia, прозванных боксерами или помпон-крабами из-за маленьких актиний, которых они постоянно держат в своих клешнях. Когда крабик грациозно передвигается по дну, кажется, что букетики в его лапках – просто изящное украшение. Но это не так, каждый такой помпон – жалящее оружие, используемое крабом для обороны и обездвиживания добычи. Чаще всего он использует актинии Triactis producta и Bunodeopsis, обычно обитающие в расщелинах рифов или мертвых кораллов. Краб Lybia edmondsoni – эндемик Гавайских островов, а Lybia tesselata встречается во всем Индо-Тихоокеанском регионе. Клешни крабиков Lybia сильно изменены, это позволяет им очень деликатно обхватить актинию вокруг стебля, не причинив ей вреда. Актинии Triactis producta могут вырастать до 15 мм, но те, которые используются крабиками в качестве борцовских перчаток – совсем маленькие, с длиной стебля около 8 мм. Правда, иногда можно встретить краба, держащего актиний, которые почти сравнялись с ним размером – вряд ли кто-то осмелится подойти к столь мощно вооруженному вояке. Очень интересно наблюдать за маленькими полосатыми крабами, которые держат в своих клешнях пучки морских анемонов, а в случае опасности принимают боксерскую позу и пускают в ход это грозное оружие. Кроме обороны, актинии используются крабом и для добывания пищи: жертва жалится щупальцами – и обед готов. Крабик может выжить и без актиний, иногда он использует в качестве оружия губки или кусочки кораллов, но при малейшей возможности снова находит себе актинию, с которой чувствует себя значительно спокойней. Потеряв одну из актиний, краб разрывает оставшуюся анемону на две половинки, которые регенерируют и снова становятся его боксерскими перчатками. Выгода для краба от такого симбиоза очевидна, и актинии вполне довольны, потому что кормятся остатками со стола своего драчливого носителя.