Сумма n чисел равна 0, сумма их модулей равна a. докажите, что разность между наибольшим и наименьшим из них не меньше 2a/n.

Пусть это числа

Заметим, что если сумма всех чисел равна 0, то сумма положительных чисел должна быть равна сумме неположительных, а суммы модулей равны:

Поскольку сумма модулей всех чисел равна a, то сумма модулей только положительных или только неположительных чисел равна a/2.

Оцениваем по принципу Дирихле:

Складываем и получаем

Функция f(x) = x(1 - x) - квадратичная, принимает максимальное значение в вершине параболы, оно равно f(1/2) = 1/4. Тогда