Т. к. три числа Васи совпали с тремя числами Пети, то разность сумм Васиных и Петиных чисел равна нулю, т. е. x + y + z - (x - 3) - (y + 3) - z² = 0 => x + y + z - x + 3 - y - 3 - z² = 0 => z - z² = 0 => z(1 - z) = 0. Т. е. либо z = 0, либо z = 1. Рассмотрим первый случай. Пусть z = 0 и пусть z совпадает с x - 3. Тогда x - 3 = 0 => x = 3. В свою очередь z² = 0 совпадает либо с x = 3, что невозможно, либо с y и тогда y= 0. Но, тогда x + y + z ≠ 466. Такое же противоречие получаем и если z совпадает с y + 3. Остается вариант, когда z совпадает с z², x совпадает с y + 3, а y с x - 3. По условию x + y + z = 466. Значит, при z = 0, получаем x + y = 466. Возведем обе части выражения в квадрат: (x + y)² = 466² = 217156 => x² + y² = 217156 - 2xy. Т. к. у нас x = y + 3, то подставляя, получаем: (y + 3)² + y² = 217156 - 2y(y + 3) => y² + 6y + 9 + y² = 217156 - 2y² - 6y => 2y² + 6y + 9 = 217156 - 2y² - 6y => 4y² + 12y - 217147 = 0. Получили квадратное относительно y уравнение. Его дискриминант равен D = 12² + 4*4*217147 = 3474496, а корни y₁ = (-12 + √3474496)/8 = (-12 + 1864)/8 = 1852/8 = 231,5 и y₂ = (-12 - √3474496)/8 = (-12 - 1864)/8 = - 1876/8 = - 234,5, что невозможно, поскольку y - целое по условию. Пусть теперь z = 1 и пусть z совпадает с x - 3. Тогда x - 3 = 1 => x = 4. z² = 1 совпадает либо с x = 4, что невозможно, либо с y и тогда y = 1. Но, в этом случае x + y +z ≠ 466, так же, как если z совпадает с y + 3. Остается случай, когда z вновь совпадает с z², x совпадает с y + 3, а y с x - 3. По условию x + y + z = 466. Значит, при z = 1, получаем x + y + 1 = 466 => x + y = 465. Вновь возводя обе части в квадрат приходим к квадратному уравнению: (x + y)² = 465² = 216225 => x² + y² = 216225 - 2xy. Т. к. у нас x = y + 3, то подставляя, получаем: (y + 3)² + y² = 216225 - 2y(y + 3) => y² + 6y + 9 + y² = 216225 - 2y² - 6y => 2y² + 6y + 9 = 216225 - 2y² - 6y => 4y² + 12y - 216216 = 0. Дискриминант D = 12² + 4*4*216216 = 3459600. Корни y₁ = (-12 + √3459600)/8 = (-12 + 1860)/8 = 1848/8 = 231 и y2 = (-12 - √3459600)/8 = (-12 - 1860)/8 = -1872/8 = -234. Если y = -234, то x = 466 - y - z = 466 +234 - 1 = 466 + 233 = 699, а 699 ≠ y + 3 = -234 + 3 = -231. Значит y = 231. Тогда x = 466 - 231 - 1 = 466 - 232 = 234. Получаем искомые числа x = 234, y = 231 и z = 1. Тогда искомое выражение x² + y² + z² = 234² + 231² + 1 = 54756 + 53361 + 1 = 108118.
Т. к. три числа Васи совпали с тремя числами Пети, то разность сумм Васиных и Петиных чисел равна нулю, т. е. x + y + z - (x - 3) - (y + 3) - z² = 0 => x + y + z - x + 3 - y - 3 - z² = 0 => z - z² = 0 => z(1 - z) = 0. Т. е. либо z = 0, либо z = 1. Рассмотрим первый случай. Пусть z = 0 и пусть z совпадает с x - 3. Тогда x - 3 = 0 => x = 3. В свою очередь z² = 0 совпадает либо с x = 3, что невозможно, либо с y и тогда y= 0. Но, тогда x + y + z ≠ 466. Такое же противоречие получаем и если z совпадает с y + 3. Остается вариант, когда z совпадает с z², x совпадает с y + 3, а y с x - 3. По условию x + y + z = 466. Значит, при z = 0, получаем x + y = 466. Возведем обе части выражения в квадрат: (x + y)² = 466² = 217156 => x² + y² = 217156 - 2xy. Т. к. у нас x = y + 3, то подставляя, получаем: (y + 3)² + y² = 217156 - 2y(y + 3) => y² + 6y + 9 + y² = 217156 - 2y² - 6y => 2y² + 6y + 9 = 217156 - 2y² - 6y => 4y² + 12y - 217147 = 0. Получили квадратное относительно y уравнение. Его дискриминант равен D = 12² + 4*4*217147 = 3474496, а корни y₁ = (-12 + √3474496)/8 = (-12 + 1864)/8 = 1852/8 = 231,5 и y₂ = (-12 - √3474496)/8 = (-12 - 1864)/8 = - 1876/8 = - 234,5, что невозможно, поскольку y - целое по условию. Пусть теперь z = 1 и пусть z совпадает с x - 3. Тогда x - 3 = 1 => x = 4. z² = 1 совпадает либо с x = 4, что невозможно, либо с y и тогда y = 1. Но, в этом случае x + y +z ≠ 466, так же, как если z совпадает с y + 3. Остается случай, когда z вновь совпадает с z², x совпадает с y + 3, а y с x - 3. По условию x + y + z = 466. Значит, при z = 1, получаем x + y + 1 = 466 => x + y = 465. Вновь возводя обе части в квадрат приходим к квадратному уравнению: (x + y)² = 465² = 216225 => x² + y² = 216225 - 2xy. Т. к. у нас x = y + 3, то подставляя, получаем: (y + 3)² + y² = 216225 - 2y(y + 3) => y² + 6y + 9 + y² = 216225 - 2y² - 6y => 2y² + 6y + 9 = 216225 - 2y² - 6y => 4y² + 12y - 216216 = 0. Дискриминант D = 12² + 4*4*216216 = 3459600. Корни y₁ = (-12 + √3459600)/8 = (-12 + 1860)/8 = 1848/8 = 231 и y2 = (-12 - √3459600)/8 = (-12 - 1860)/8 = -1872/8 = -234. Если y = -234, то x = 466 - y - z = 466 +234 - 1 = 466 + 233 = 699, а 699 ≠ y + 3 = -234 + 3 = -231. Значит y = 231. Тогда x = 466 - 231 - 1 = 466 - 232 = 234. Получаем искомые числа x = 234, y = 231 и z = 1. Тогда искомое выражение x² + y² + z² = 234² + 231² + 1 = 54756 + 53361 + 1 = 108118.
ответ: x² + y² + z² = 108118.
ответ: 108118.
Чтобы найти ответы к заданию: "Найти полуоси фокусы, эксцентриситет эллипса", надо привести уравнение к каноническому виду.
Выделяем полные квадраты.
5(x²-6х +9)+9(у²+2у+1)-45 = 0.
5(х-3)²+9(y+1)²-45 = 0.
Перенесём свободный член направо и разделим обе части уравнение на него.
Получаем каноническое уравнение эллипса.
((x-3)²/9) + ((y+1)²/5) = 1 или
((x-3)²/3²) + ((y+1)²/(√5)²) = 1.
По этому уравнению находим значения полуосей:
а = 3,
в = √5.
Центр эллипса находится в точке О(хо; уо) = О(3; -1).
Вершины эллипса имеют координаты:
А1 = ((а + хо); уо) = (3 + 3 = 6, -1) = (6; -1).
А2 = ((-а + хо); уо) = (-3 + 3 = 0, -1) = (0; -1).
В1= (хо; (в + уо)) = (3; (√5 +(-1)) =(3; (√5 - 1).
В2 = (хо; (-в + уо)) = (3; (-√5 - 1)) = (3; (-√5 - 1).
Половина межфокусного расстояния с = √(а² - в²) = √(9 - 5) = √4 = 2.
Координаты фокусов:
F1 = (с +хо); уо) = (2 + 3 = 5; -1) = (5; -1),
F2 = (-c + xo; yo) = (-2 + 3 = 1; -1) = (1; -1).
Эксцентриситетом эллипса называют отношение ε = c/a , которое может принимать значения в пределах 0 ≤ x < 1.
В нашем случае: ε = 2/3.
Для построения графика удобнее преобразовать уравнение относительно у:
(y+1)²/(√5)² = 1 - ((x-3)²/3²),
(y+1)² = 5 - 5√(1 - ((x-3)²/3²)),
у = +-(√5 - 5((x-3)²/3²)) - 1.
Уравнение с плюсом определяет верхнюю дугу эллипса, с минусом
– нижнюю дугу эллипса.