Ввыпуклом четырехугольникe abcd углы при вершинах a, b , c равны 82 градусов . на стороне ab отмечена точка е . известно, что ad=cd=be . найдите угол bce. обоснуйте решение

Заданы координаты вершин пирамиды:

A(2,1,2), B(-2,3,4), C(-6,-3,3), D(4,5,-1)Найти:

1) скалярное произведение АВ. AC и угол между ними.

Находим векторы:

АВ = (-2-2; 3-1; 4-2) = (-4; 2; 2).

Модуль равен √((-4)² + 2² + 2²) = √24 = 2√6.

АС = (-6-2; -3-1; 3-2) = (-8; -4; 1).

Модуль равен √((-8)² + (-4)² + 1²) = √81 = 9.

Находим косинус угла между этими векторами.

cos(AB_AC) = (-4*(-8) + (2*(-4) + 2*1)/(2√6*9) = 26/(18√6) = 13/(9√6).

Скалярное произведение АВ*АС = 26 (расчёт приведен в косинусе А).

Угол А = arccos(13/(9√6) = 53,8648 градуса.

2) вектор р= [AB x AС|, площадь грани ABC;

р= [AB x AС] =  i       j      k|        i        j

                       -4      2      2|      -4      2

                       -8     -4      1|      -8      -4 = 2i - 16j + 16k + 4j + 8i + 16k =

                                                               = 10i - 12j + 32k.

p = (10; -12; 32).

Площадь АВС равна половине модуля полученного векторного произведения.

S = (1/2)|p| = (1/2)√(10² + (-12)² + 32²) = (1/2)√1268 ≈ 35,609 кв. ед.

3) объем пирамиды.

V = (1/6)*|(ABxAC)*AD|.

Произведение [ABxAC] найдено выше:  (10; -12; 32)

Находим вектор AD.

Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA}.  

X      Y      Z

2      4     -3

Модуль = √29  ≈ 5,38516.

Находим |(ABxAC)*AD|:

10     -12      32

х

2        4       -3  

20    -48     -96 = |-126| = 126.

V = (1/6)*126 = 21 куб. ед.

Удав обнял свой хвост, получилась замкнутая линия. Кролик прыгал с какого-то места снаружи на камень, который находится внутри замкнутой линии. Кролик прыгает на камень — прыжок, обратно с камня на место — ещё прыжок. Два прыжка получилось.

Прыгает ещё раз с места на камень, с камня на место — ещё два прыжка.

И так далее.

Получается, сколько бы не прыгал кролик, количество прыжков всегда кратное 2, то есть, чётное количество.

Кролик сказал, что 2021 раз перепрыгнул, но 2021 — нечётное число. Он бы мог перепрыгнуть 2021 раз, только если бы в итоге остался на камне, но он вернулся домой.