Прогнозы сбылись наполовину - это значит, что у каждого сбылось только одно предсказание, а второе нет. Возможные варианты. 1) Пусть Аня заняла 1 место, тогда Боря - не 2 место. Тогда Аня заняла не 2 место, значит, Гена занял 3 место. Значит, Гена не на последнем месте, а Вася - на 2. Решение: Аня - 1, Вася - 2, Гена - 3, Боря - 4.
2) Пусть Аня заняла не 1 место, тогда Боря занял 2 место. Значит, Аня не могла занять 2 место, а Гена занял 3 место. Значит, опять Гена не на последнем месте, а Вася на 2. Но у нас уже Боря на 2 месте, получаем противоречие.
1) Пусть Аня заняла 1 место, тогда Боря - не 2 место.
Тогда Аня заняла не 2 место, значит, Гена занял 3 место.
Значит, Гена не на последнем месте, а Вася - на 2.
Решение: Аня - 1, Вася - 2, Гена - 3, Боря - 4.
2) Пусть Аня заняла не 1 место, тогда Боря занял 2 место.
Значит, Аня не могла занять 2 место, а Гена занял 3 место.
Значит, опять Гена не на последнем месте, а Вася на 2.
Но у нас уже Боря на 2 месте, получаем противоречие.
ответ: Аня - 1, Вася - 2, Гена - 3, Боря - 4.
OE⊥MK, OF⊥KN как радиусы, проведенные в точки касания.
∠К = 180° - 45° - 60° = 75°
ΔKNL:
∠K = 75°, ∠N = 30°⇒∠L = 75°
ΔLEO:
∠E = 90°, ∠L = 75° ⇒ ∠LOE = 15°
ΔOFN:
∠F = 90°, ∠N = 30° ⇒ ∠FON = 60°
h₁ - высота ΔCDE, h₂ - высота ΔСDF.
sin15° = h₁/OE = h₁/R
sin60° = h₂/OF = h₂/R из соответствующих прямоугольных треугольников.
h₁ = Rsin15°
h₂ = Rsin60°
Scde = 1/2 CD·h₁ = 1/2 CD·Rsin15°
Scdf = 1/2 CD·h₂ = 1/2 CD·Rsin60°
Scde/Scdf = (1/2 CD·Rsin15°) / (1/2 CD·Rsin60°) = sin15° / sin60°