Пусть было сделано n обменных операций 1-го типа и k операций 2-го типа (по порядку как они шли в условии). Тогда количество золотых монет в результате изменится на величину -4n+5k=0 т.к. их общее количество не изменилось, а при каждой операции 1-го типа золотых уменьшается на 4, и 2-го типа количество золотых увеличивается на 5. На операции каждого типа количество медных монет увеличивается на 1, значит всего было сделано 45 операций, т.е. n+k=45. Отсюда n=45-k, -4(45-k)+5k=0, k=20, n=25. Аналогично, как с золотыми, количество серебряных изменится на величину 5n-8k=5*25-8*20=125-160=-35. Т.е. количество серебряных монет уменьшилось на 35.
Из свойств Квадрата натурального числа А либо делится на 3 -остаток 0, либо не делится и дает -остаток 1. (А²+1)/3 В первом случе даст остаток-1 во втором даст остаток-2. И в первом и втором случае не делится на 3 нацело.
PS . Доказательства Свойства квадрата 1)Если число А кратно 3, значит А = 3К, тогда А²= (3К) = 9К² делится на 3 нацело-остаок 0. 2)Если же число а не кратно 3 то его можно представить двумя а) А= 3К -1, тогда А²= (3К-1)²=9К²-6К+1=3(3К²-2К)+1 и при делении на 3 даст - остаток 1. либо б) А= 3К +1, тогда А²= (3К+1)²=9К²+6К+1=3(3К²+2К)+1 и при делении на 3 даст - остаток 1.
либо делится на 3 -остаток 0,
либо не делится и дает -остаток 1.
(А²+1)/3 В первом случе даст остаток-1
во втором даст остаток-2.
И в первом и втором случае не делится на 3 нацело.
PS . Доказательства Свойства квадрата
1)Если число А кратно 3, значит
А = 3К, тогда А²= (3К) = 9К² делится на 3 нацело-остаок 0.
2)Если же число а не кратно 3 то его можно представить двумя
а) А= 3К -1, тогда А²= (3К-1)²=9К²-6К+1=3(3К²-2К)+1
и при делении на 3 даст - остаток 1.
либо б) А= 3К +1, тогда А²= (3К+1)²=9К²+6К+1=3(3К²+2К)+1
и при делении на 3 даст - остаток 1.