Построим единичную окружность от начала координат, то есть радиус будет равен единице, и любой радиус-вектор соответственно. Построим треугольник, такой, что его гипотенуза - радиус. один из катетов лежит на оси абсцисс, а другой параллелен оси ординат. Тогда длина противолежащего катета равна координате y точки окружности, находящейся на радиусе, а длина прилежащего - координате x . Угол между гипотенузой и осью абсцисс обозначим за α. Как известно, синусом называется отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинусом называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Как уже было сказано, противолежащий катет равен y, а прилежащий равен x. Тогда sinα = y/1 (гипотенуза равна единице) = y, а cosα = x/1 = x. чтд
Очевидно, что если радиус - любое число, кроме единицы - равенства не будет.
Другой менее правильный. Известная формула расстояния между двумя точками:
d =
где x1, y1 - соответствующие координаты первой точки, x2,y2 - координаты второй точки.
На самом деле, это всего лишь теорема Пифагора, здесь d - гипотенуза прямоугольного треугольника, а если вычесть из кооординаты начала (x1 или y1) координату конца (x2 или y2), получится длина катета. Квадрат суммы длин катетов равен квадрату длины гипотенузы. Это работает для любых двух точек. Но синус и косинус равны координатам точки только на единичной окружности.
Если одна из точек будет лежать на краю окружности, а вторая будет началом координат, то x2 = y2 = 0, и тогда формула будет иметь другой вид:
d =
Нетрудно догадаться, что расстояние от центра окружности до ее края называется радиусом. В данном случае радиус равен 1, поэтому:
1 =
Это уравнение можно возвести в квадрат, так как обе его части неотрицательны:
1 =
Здесь, очевидно, спряталось основное тригонометрическое тождество. 1 =
Пусть x,y,z количества участков каждого размера (3×1 , 4×2 и 6×2), то из рассуждений площадей имеем :
3×1x+4×2y+6×2z = 13×20 . ( 13 по горизонтали)
3x = 13×20 - 4×2y - 6×2z
Как видим, правая часть делится на 4, а значит x ( число прямоугольников 3×1 ) делится на 4, то есть x = 4;8;12;16...
Достаточно легко привести пример такого построения для x = 8 (смотрите рисунок). А вот с x = 4 возникают проблемы. Попробуем доказать, что вариант с x = 4 невозможен.
Поскольку число 13 нечетное, то каждая горизонталь должна пересекаться хотя бы с одним прямоугольником 3×1, иначе эта горизонталь будет пересекаться только с прямоугольниками 4×2 и 6×2, однако эти прямоугольники имеют только четные стороны, а значит они будут давать по горизонтали четную сумму, что противоречит нечетному числу 13 .
Всего мы имеем 20 горизонталей, однако у нас всего 4 прямоугольника 3×1, поэтому эти прямоугольники смогут покрыть не более 3×4 = 12 горизонталей, что нас не устраивает. То есть мы пришли к противоречию, вариант с x = 4 невозможен. Таким образом минимальное число прямоугольников 3×1 равно 8 .
На рисунке как раз виден принцип построения, где мы покрыли все 20 горизонталей прямоугольниками 3×1, что было бы невозможным в случае, когда x= 4.
Построим единичную окружность от начала координат, то есть радиус будет равен единице, и любой радиус-вектор соответственно. Построим треугольник, такой, что его гипотенуза - радиус. один из катетов лежит на оси абсцисс, а другой параллелен оси ординат. Тогда длина противолежащего катета равна координате y точки окружности, находящейся на радиусе, а длина прилежащего - координате x . Угол между гипотенузой и осью абсцисс обозначим за α. Как известно, синусом называется отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинусом называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Как уже было сказано, противолежащий катет равен y, а прилежащий равен x. Тогда sinα = y/1 (гипотенуза равна единице) = y, а cosα = x/1 = x. чтд
Очевидно, что если радиус - любое число, кроме единицы - равенства не будет.
Другой менее правильный. Известная формула расстояния между двумя точками:
d =
где x1, y1 - соответствующие координаты первой точки, x2,y2 - координаты второй точки.
На самом деле, это всего лишь теорема Пифагора, здесь d - гипотенуза прямоугольного треугольника, а если вычесть из кооординаты начала (x1 или y1) координату конца (x2 или y2), получится длина катета. Квадрат суммы длин катетов равен квадрату длины гипотенузы. Это работает для любых двух точек. Но синус и косинус равны координатам точки только на единичной окружности.
Если одна из точек будет лежать на краю окружности, а вторая будет началом координат, то x2 = y2 = 0, и тогда формула будет иметь другой вид:
d =
Нетрудно догадаться, что расстояние от центра окружности до ее края называется радиусом. В данном случае радиус равен 1, поэтому:
1 =
Это уравнение можно возвести в квадрат, так как обе его части неотрицательны:
1 =
Здесь, очевидно, спряталось основное тригонометрическое тождество. 1 =
Пусть x,y,z количества участков каждого размера (3×1 , 4×2 и 6×2), то из рассуждений площадей имеем :
3×1x+4×2y+6×2z = 13×20 . ( 13 по горизонтали)
3x = 13×20 - 4×2y - 6×2z
Как видим, правая часть делится на 4, а значит x ( число прямоугольников 3×1 ) делится на 4, то есть x = 4;8;12;16...
Достаточно легко привести пример такого построения для x = 8 (смотрите рисунок). А вот с x = 4 возникают проблемы. Попробуем доказать, что вариант с x = 4 невозможен.
Поскольку число 13 нечетное, то каждая горизонталь должна пересекаться хотя бы с одним прямоугольником 3×1, иначе эта горизонталь будет пересекаться только с прямоугольниками 4×2 и 6×2, однако эти прямоугольники имеют только четные стороны, а значит они будут давать по горизонтали четную сумму, что противоречит нечетному числу 13 .
Всего мы имеем 20 горизонталей, однако у нас всего 4 прямоугольника 3×1, поэтому эти прямоугольники смогут покрыть не более 3×4 = 12 горизонталей, что нас не устраивает. То есть мы пришли к противоречию, вариант с x = 4 невозможен. Таким образом минимальное число прямоугольников 3×1 равно 8 .
На рисунке как раз виден принцип построения, где мы покрыли все 20 горизонталей прямоугольниками 3×1, что было бы невозможным в случае, когда x= 4.