Пусть функция возрастает на всей области определения.
Предположим, что для некоторых значений аргумента и выполняется соотношение . Рассмотрим три ситуации:
1. - но по определению возрастающей функции меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: - противоречие вышеприведенному равенству значений функции
2. - две точки равны между собой, значит и значения функции в них также равны, вышеприведенное равенство выполняется
3. - аналогично, по определению возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции: - противоречие вышеприведенному равенству значений функции
Таким образом, при любых не может выполняться равенство . Это означает, что возрастающая функция не может принимать одно и то же значение в двух различных точках. Или по другому, возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке.
Для убывающей функции доказательство аналогичное с той лишь разницей, что случаю соответствует условие , а случаю - условие . Но опять же, разным значениям аргумента не могут соответствовать равные значения функции.
В октябре 2011 г. в Президиуме ДВО РАН состоялась конференция, посвящённая 100-летию Синьхайской революции Нанкинского временного правительства, личности Юань Шикая и роли китайских эмигрантов.Национально-демократическое движение XIX — первой
половины XX в. выражало требования народных масс, представляло интересы китайского народа шире, чем демократическая революция буржуазии. Национальная революция внутри страны была направлена против господства маньчжурских верхов и угнетения других народов, во внешней политике — против притеснения китайской нации иностранным империализмом. Демократическая революция, уничтожая систему феодального абсолютизма, должна создать демократическую республику и осуществить модернизацию государства. В мы подчёркивали антимонархические и антифеодальные задачи китайской демократической революции. Данное выше определение национальной демократической революции в сущности не отличается от прежнего.
Пусть функция
возрастает на всей области определения.
Предположим, что для некоторых значений аргумента
и 
выполняется соотношение 
. Рассмотрим три ситуации:
1.
- но по определению возрастающей функции меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: 
- противоречие вышеприведенному равенству значений функции
2.
- две точки равны между собой, значит и значения функции в них также равны, вышеприведенное равенство выполняется
3.
- аналогично, по определению возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции: 
- противоречие вышеприведенному равенству значений функции
Таким образом, при любых
не может выполняться равенство 
. Это означает, что возрастающая функция не может принимать одно и то же значение в двух различных точках. Или по другому, возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке.
Для убывающей функции доказательство аналогичное с той лишь разницей, что случаю
соответствует условие 
, а случаю 
- условие 
. Но опять же, разным значениям аргумента не могут соответствовать равные значения функции.
В октябре 2011 г. в Президиуме ДВО РАН состоялась конференция, посвящённая 100-летию Синьхайской революции Нанкинского временного правительства, личности Юань Шикая и роли китайских эмигрантов.Национально-демократическое движение XIX — первой
половины XX в. выражало требования народных масс, представляло интересы китайского народа шире, чем демократическая революция буржуазии. Национальная революция внутри страны была направлена против господства маньчжурских верхов и угнетения других народов, во внешней политике — против притеснения китайской нации иностранным империализмом. Демократическая революция, уничтожая систему феодального абсолютизма, должна создать демократическую республику и осуществить модернизацию государства. В мы подчёркивали антимонархические и антифеодальные задачи китайской демократической революции. Данное выше определение национальной демократической революции в сущности не отличается от прежнего.