При каких значениях параметра а уравнение имеет единственный корень логарифм (x^2+12) по основанию (ах+1)=логарифм ( 7х) по основанию (ах+1)

ln (x^2+12) / ln (ах+1)=ln ( 7х)/ln (ах+1)
ОДЗ: x^2+12>0; (ах+1)>0; ( 7х)>0
x^2+12 = 7х
x^2-7x+12 = 0
d=49-48=1
x1=(7-1)/2=3
x2=(7+1)/2=4
корень должен быть только 1
корни x1 и х2 подставляем в уравнения ОДЗ
x^2+12>0; x1 - удовлетворяет; x2 - удовлетворяет независимо от а
( 7х)>0; x1 - удовлетворяет; x2 - удовлетворяет независимо от а
(ах+1)>0;
x1 - удовлетворяет при (3а+1)>0; или a >-1/3
x2 - удовлетворяет при (4а+1)>0; или a >-1/4
итог
при a<=-1/3 - корни x1 x2 не входят в ОДЗ - решений нет
при -1/3<a<=-1/4 - x1не входит в ОДЗ а x2 - входит в ОДЗ - решение одно
при -1/4<a - x1 x2 - входят в ОДЗ - решений два

ответ -1/3 < a <= -1/4

ОДЗ
x²+12>0 ⇒х-любое
7x>0⇒x>0
ax+1>0 U ax+1≠1⇒x>-1/a U x≠0
x²+12=7x
x²-7x+12=0
x1+x2=7 U x1*x2=12⇒x1=3 U x2=4
x=3⇒3a+1>0⇒3a.-1⇒a.>-1/3
x=4⇒4a+1>0⇒4a>-1⇒a>-1/4
т.к.корень 1,то a∈(-1/3;-1/4)