Випадкова величина X розподілена рівномірно в діапазоні [A;B]. Знайти її функції щільності та розподілу імовірності, знайти математичне
сподівання та дисперсію.
1. Випадкова величина X розподілена за законом Пуассона з
параметром A, випадкова величина Y розподілена за тим же законом з
параметром B. Ці випадкові величини незалежні. Знайти закон розподілу,
математичне сподівання та дисперсію їх суми.
2. Випадкова величина X рівномірно розподілена в інтервалі [A;B].
Знайти щільність імовірності випадкової величини 2XY
3. Випадкова величина X розподілена за експоненційним законом з
параметром 0,1·A, випадкова величина Y розподілена за тим же законом з
параметром 0,05·B. Ці випадкові величини незалежні. Знайти закон
розподілу, математичне сподівання та дисперсію їх добутку.
4. Випадкова величина X розподілена за експоненційним законом з
параметром =0,05·A, випадкова величина Y розподілена за законом
Пуассона з параметром B. Ці випадкові величини незалежні. Знайти закон
розподілу, математичне сподівання та дисперсію їх суми.
5. Випадкова величина X рівномірно розподілена в інтервалі [A;B],
випадкова величина Y розподілена за законом Пуассона з параметром B Ці
випадкові величини незалежні. Знайти закон розподілу, математичне
сподівання та дисперсію їх різниці.
6. Випадкова величина X рівномірно розподілена в інтервалі [A;B].
Знайти щільність імовірності випадкової величини 25XY .
7. Випадкова величина X розподілена рівномірно в [A, B].Знайти
функції щільності та розподілу імовірності, знайти математичне сподівання
та дисперсію випадкової величини XY2 .
8. Випадкова величина X розподілена за законом Пуасона з
параметром A, випадкова величина Y розподілена за експоненційним законом
з параметром =0,05·B. Ці випадкові величини незалежні. Знайти закон
розподілу, математичне сподівання та дисперсію їх добутку.

9. Знайти: дисперсію та середнє квадратичне відхилення, функцію
щільності випадкової величини X, розподіленої за експоненційним законом з
параметром =0,05·A

Произвести полное исследование функции f(x) =x³ / (x² - 1)  и построить график.

1.  ООФ:  x ∈ ( -∞ ; -1 ) ∪ ( -1 ; 1) ∪ ( 1 ; ∞).      x² - 1 ≠ 0 ;  x ≠ ±1 .

вертикальные асимптоты    x = -1  и x =1

2.  f( -x) = (- x)³ / ( (-x)² -1 )  =  - x³ / (x² - 1) = f(x)   → нечетная функция

Следовательно , график функции  симметричен относительно начала координат (центральная симметрия) , достаточно сначало построить график функции  x∈ ( 0 ; ∞) ,а затем  дополнить  симм.   x ( - ∞; 0)

3. Точки пересечения  с осями координат

График функции проходит через начало координат:  ( 0 ; 0 )  4. Экстремумы функции  

f '(x) = ( 3x²*(x² - 1) - x³*2x ) / (x² - 1)²  =  x²*(x² - 3) ) / (x² - 1)²

= (x+√3)*x²*(x -√3) ) / (x² - 1)²                       ||

f '(x) = 0 ⇒x = - √3  ; x=0 , x =  √3  → критические (стационарные) точки ,

из них   x = - √3   и  x =  √3   точки  экстремумов

+ + + + + + + [- √3] - - - - - - -  [0] - - - - - - -  [√3] + + + + + + +

x =  -√3 _точка  максимума   ;    x =  √3 _точка  минимума

(точки локальных максимумов  и минимумов )

max f(x) = - 3√3 /2  ≈  -2,6   ;                min  f(x) =  3√3 /2 ≈  2,6

5.  Точки  перегиба

f '' (x)  = ( f'(x) ) ' = ( x²*(x² - 3) ) / (x² - 1)² ) ' =

( (4x³ -6x)(x² - 1)² -x²*(x² - 3)*2(x² - 1)2x ) / (x² - 1)^4 =

2x ( ( 2x² -3)(x² - 1) -2x²*(x² - 3) ) / (x² - 1)³ =2x(x² +3) / (x² - 1)³

x = 0 точка перегиба

6. Наклонные  асимптоты

 k = Lim f(x) / x   =   Lim x³ / x(x² - 1)    Lim 1 / (1  - 1/x²)   = 1

          x→∞

b = Lim( f(x) - k*x )  Lim( f(x) - k*x ) = Lim (x³ / (x² - 1)  - 1*x ) =

       x→∞

Lim (x / (x² - 1)  = 0

x→∞

y = x

- - - - - - - - - - -

P.S. интервалы  знакопостоянства функции

f(x) > 0   ;  x³ / (x² - 1)  > 0⇔ x³ * (x² - 1)  > 0 ⇔ (x + 1)x³(x -1) > 0

- - - - - - - ( -1) + + + + + + + (0) - - - - - - - (1) + + + + + + +

f(x)  > 0  ⇒  x ∈ ( -1 ; 0) ∪ (1 ; ∞) ;

f(x) <  0  ⇒ x ∈ ( ∞ ;-1 ) ∪ (0 ; 1 ) .

- - -

√3 ≈1,73  ; 3√3/2 ≈ 2,6

график   во вложении

1. Разложить на множители с формул сокращенного умножения:

а) х² - 36 х² + 10х + 25 =(x+5)²-(6x)²=(x+5 -6x)(x+5 +6x) =5(1 -x)(7x+5).

 б) a³ - 8 а² -  16а + 64  = a²(a-8) -16*

в) 9а^4 – 25b² ? 100с² – 40сх + 4х²=(3a² -5b)(3a²+5b) ? 4(5c -x)²

2. Решить уравнения:

а) х²- 2² = 0 ;

(x+2)(x-2) =0 ; x = -2 или x =2

б) х² + 6х + 9 = 0 ; (x+3)² =0 ; x+3 =0 ; x = -3

3. Представить в виде многочлена с формул сокращенного умножения:

а) (у + 3)(у – 3) (а + 6)² =(y² - 3²)(a² +2a*6 +6²) =(y² - 9)(a² +12a +36)= ...

 б) (х + 11) (х – 11) (х – 1)²=(x² -11²)(x² -2x +1) =(x² -121)(x² -2x +1) = ...

 в) (7с + 9b)(7с – 9b) (х + 2)(х2 – 2х + 4)=( (7c)² - ((9b)²)( x³ +2³) =

(49с² - 81b²)(x³ +8) = ...

4. Доказать тождество:

(а + b)² + (а + b)(а – b) = 2а(а + в)

(а + b)² + (а + b)(а – b) = a² +2ab +b² +a² - b² =2а²+2ab =2a(a+b) ч.т.д.

5. Разложить на множители:

а) 2ау³ - 50ау = 2ау³ - 50ау =2ay(y² -5²) = =2ay(y -5)(y+5).

б) х^4*с - 16с = c(х^4 -2^4) = c( (x²)² -(2²)² ) =c( x² -2² ) ( x² +2² ) =c( x -2 )(x+2) ( x² +4 ) .

в) 3х² - 27 + х²у - 9у =     3(х² -3²) + y(х² – 3²) =  (х² - 3²)(3 + y) =(x - 3)(x + 3)(y + 3) .